Площадь равнобокой трапеции равна 36 sqrt(2) см^2, а острый угол - 45 градусов. найдите высоту трапеции, если полусумма её боковых сторон равна средней линии.

Обозначим нижнее основание - а; верхнее основание - в; боковая сторона - с.
Площадь трапеции - (а+в)*h/2;
по условию - (а+в)/2= (с+с)/2=с;
площадь - с*h;
Из треугольника АВН АН=ВН - треугольник равнобедренный, углы А и В - 45°, АН=(а-в)/2=h, тогда с= (а-в)/2√2;
Площадь - (а-в)/2√2*(а-в)/2=36√2;
(а-в)²=144
(а-в)=12;
h=(а-в)/2=12/2=6 см.

АВСД - трапеция, ВМ и СК - высоты на основания АД.
Прямоугольные тр-ки АВМ и СДК равнобедренные с острыми углами 45°. пусть боковые стороны этих тр-ков равны х, тогда АВ=СД=х√2.
По условию полусуммы оснований и боковых сторон равны, значит их суммы равны. АВ+СД=АД+ВС,
2х√2=2х+2ВС,
ВС=х√2-х.
Также (АД+ВС)·ВМ/2=S,
(2х+2ВС)·х/2=36√2,
(2х+2х√2-2х)·х=72√2,
2х²√2=72√2,
х²=36,
ВМ=х=6 см - это ответ.

1) опускаем сторону к основанию - падает в середину, получается 2 одинаковых прямоуг. треуг, по т-ме Пифагора высота = (под корнем) 100 - 36 = 8 
S = 1/2*12*8=48 (см кв.) 

2) опускаем высоту из вершины с углом 150гр., получается прямоуг. треуг. с углом в 150-90=60 град., 12 - гипотенуза, то т.к. высота лежит напротив угла в 30град, она будет равна половине гипотенузы = 6, Отсюда S= 16*6 = 96. 
То же самое, если поменять стороны местами (высота = 16/2 = 8, а S = 12*8 = 96 см.кв.) 

3) Аналогично опускаем высоты на большее основание, получаем прямоуг. со сторонами 10, h, 10, h 
Основание поделено 5:10:5, 
Отсюда высота = 169 - 25(корень) = 12 
S треуг. = 2*1/2*5*12 = 60 
S прямоуг.= 10*12=120 
S трап.= 60 + 120 = 180 

Начнем с углов, т.к это прямоугольный треугольник , то сумма острых углов равно 90, и получается пусть один угол будет x , а другой угол будет 2x. отсюда следует, x+2x=90
3x=90
x=30
один угол будет равен 30 градусам,другой 60 , напротив угла 30 градусов будет меньший катет, а нам известно,  что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42, дело в том что катет , лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, отсюда следует (возьмем гипотенузу за а, а катет за b)

a+b=42, где b=1\2 a
a+1\2a=42
3\2a=42
a=42×2;3=28
ответ 28 см