Втреугольнике abc высота ch делит угол c на два угла, угол ach равен 25 градусов, а угол bch равен 40 градусов. докажите, что треугольник abc равнобедренный

1) ∠С = ∠АСН + ∠ВСН = 25° + 40° = 65°
2) Рассмотрим ΔАСН. ∠СНА = 90° (СН - высота), ∠АСН = 25° по условию, ∠ А = 90° - 25° = 65°.
3) Т.к ∠А = ∠С, то ΔАВС равнобедренный.

Это очень известная задача, и решается она просто (то есть на уровне школьника) только благодаря подбору данных. Само собой, можно сократить все числа на 100, и искать такую точку К внутри треугольника АВС, что АК + 2*ВК + 3*СК минимально.

Но АК + 2*ВК + 3*СК = АК + СК + 2*(ВК + СК) >= AC + 2*BC.

Всегда. Причем равенство возникает только в случае, если К совпадаетс с С. Во всех других случаях  АК + 2*ВК + 3*СК > AC + 2*BC;

Поэтому колодец надо рыть прямо в деревне С.

Если бы в деревне С жило 299 семей, такую задачу с трудом решил бы и профессор, причем настоящий, а не местного разлива :)))

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см.
Найдите основание треугольника.
-
Назовем треугольник АВС, АВ=ВС, АС- основание, ВН - высота, центр окружности - О. 
Решение Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Высота ВН - биссектриса и медиана. ⇒
АН=СН 
Проведем в ∆ АВН биссектрису  угла А. 
Тогда по свойству биссектрисы отношение, в котором она делит сторону ВН, равно отношению сторон, содержащих угол А, т.е.
 АВ:АН=17:15
34:АН=17:15⇒
АН=34•15:17=30
AC=2•AH=60 см Пусть коэффициент отношения отрезков высоты будет а.
Тогда ВО=17а, ОН=15а
Проведем из О радиус ОТ в точку касания с ВС.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.  
ОТ⊥ВС .
В прямоугольных треугольниках ВНС и ВТО общий острый угол при В. 
Если прямоугольные треугольники имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение:
ВС:ВО=НС:ОТ
ОТ=ОН=r=15а
34:17a=НС:15а
34•15a=HC•17a
НС=34•17:15=30
АС=30•2=60 (см)