Перпендикуляр, опущений з точки, що є серединою основи рівнобедренного трикутника на бічну сторону, дорівнюе 12 см, а проекція висоти, проведеної до основи трикутника на бічну сторону, дорівнюе 28, 8 см. обчислити периметр трикутника.

В равнобедренном треугольнике АВС:АВ=ВС, точка D - середина основания ΔАВС, DМ⊥ВС.
DМ²=ВМ·СМ, СМ=х,
144=28,8х; х=5; СМ= 5см.
ВС=28,8+5=33,8 см,
АВ=ВС=33,8 см,
ΔDМС: DМ=12 см, СМ=5 см,
СD²=144+25=169, СD=13 см.
АС=2·13=26 см,
 Периметр равен 33,8+33,8+26=93,6 см

Припустимо, що наша трапеція АВСД, в якої паралельні сторони, тобто її основи ВС=4см, АД=25см. Бічні сторони АВ=13 см, СД=20 см.
Площа трапеції дорівнює добутку висоти трапеції на половину суми його основ.
Тобто для того, щоб знайти площу трапеції нам потрібно знайти розмір її висоти.
Для цього з верши В та С опустимо дві висоти на основу АД.
У нас вийшло дві висоти ВК та СН, які між собою рівні, оскільки КВСН - це прямокутник, а в прямокутника протилежні сторони рівні.
А це означає, що ВС=КН=4 см.
Також зазначимо, що АК=АД-КН-ДН=25-4-ДН=21-ДН
Розглянемо трикутник АВК, він прямокутний, бо ВК - це висота, а значит в цьому трикутнику ∠К=90°.
АВ - гіпотенуза, а ВК та АК  - це два катети.
По теоремі Піфагора ( квадрат гіпотенузи = сумі квадратів катетів) виходить, що
АВ²=ВК²+АК²
13²=ВК²+(21-ДН)²
ВК²=13²-(21-ДН)²
ВК²=169-(441-42ДН+ДН²)
ВК²=169-441+42ДН-ДН².
ВК²= -272+42ДН-ДН².


Розглянемо трикутник ДСН, він прямокутний, бо СН - це висота, а значит в цьому трикутнику ∠Н=90°.
СД - гіпотенуза, а СН та ДН  - це два катети.
По теоремі Піфагора ( квадрат гіпотенузи = сумі квадратів катетів) виходить, що
СД²=СН²+ДН²
20²=СН²+ДН²
СН²=20²-ДН²
СН²=400-ДН²

А оскільки ВК=СН, значить
-272+42ДН-ДН²=400-ДН²
42ДН-ДН²+ДН²=400+272
42ДН=672
ДН=672/42
ДН=16 см.

СН²=400-ДН²
СН²=400-16²
СН=√144
СН=12 см - висота трапеції.
Тепер значення висоти трапеції підставляємо  у формулу площі трапеції:
Р трапеції=СН*(ВС+АД)/2 = 12*(4+25)/2=12*29/2=174 см²

Відповідь: площа трапеції дорівнює 174 см²

№9

Роз-ня

Проведемо висоту DM

З ΔADM(∠M=90°), DM=1/2*AD(за властивістю катета що лежить навпроти ∠30°)

DM=16/2=8(см)

S(ABCD)=(DC+AB)/2*DM

S(ABCD)=(4+32)/2*8=144(см²)

Відповідь:

144см²

№10

Роз-ня

З ΔABE(∠E=90°), за Т. Піфагора, AE=√(AB²-BE²)

AE=√(100-64)=6(см)

Проведемо висоту CM

ΔABE=ΔCMD⇒AE=MD=6(см)

Нехай, BC=x(см), то AD= x+12(см)

P(ABCD)= 10+x+10+x+12

2x+32=64

x+16=32

x=12

Отже, BC=12(см), то AD= 24(см)

S(ABCD)=(BC+AD)/2*BE

S(ABCD)=(12+24)/2*10=180(см²)

Відповідь:

180см²

№11

Роз-ня

Проведемо висоту ВM

ВM=CA=15(см)

З ΔADM(∠M=90°), за Т. Піфагора, MA=√(BA²-BM²)

MA=√(625-225)=20(см)

Нехай, CB=x(см), то DA= x+20(см)

P(ABCD)= 15+x+25+x+20

60+2x=80

30+x=40

x=10

Отже, CB=10(см), то DA= 30(см)

S(ABCD)=(CB+DA)/2*BM

S(ABCD)=(10+20)/2*15=225(см²)

Відповідь:

225см²

Насчет правильности проверь, но ход решения такой