42 ! стороны четырехугольника авсd ав, вс, сd и аd стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 63º, 62º, 90º, 15. найдите угол в этого четырехугольника. ответ дайте в градусах. объясните , подробно.)

Для описанной окружности , сумма стягивающих дуг сторон четырехугольника равна 360 градусов, а у вас 63+62+90+15=230 -абсурд

Угол В стягивает дугу АДС. 
∩АДС=∩АД+∩СД=145°+90°=235°.
Угол, вписанный в окружность, равен половине, соответствующего ему, центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
∠В=∩АДС/2=235/2=117.5° - это ответ.

Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота в правильном треугольнике АВС. То есть
АН⊥ВС.
СС₁⊥(АВС), значит АН⊥СС₁.
АН перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости (ВСС₁), значит АН⊥(ВСС₁).

Проведем КТ║АН.
Тогда КТ⊥(ВСС₁).

Плоскость (С₁КТ) проходит через прямую КТ, перпендикулярную (ВСС₁), значит (С₁КТ)⊥(ВСС₁).
С₁КТ - искомое сечение.

С₁Т - проекция С₁К на плоскость (ВСС₁), значит ∠КС₁Т - угол между прямой С₁К и плоскостью (ВСС₁).
∠КС₁Т - искомый. Обозначим его α.

ΔАВС: АН = АВ√3/2 = 4√3/2 = 2√3 как высота равностороннего треугольника.
КТ = АН/2 = √3 как средняя линия ΔАСН.

ΔСС₁К: по теореме Пифагора
               С₁К = √(СС₁² + КС²) = √(6 + 4) = √10

ΔС₁КТ: КТ - перпендикуляр к плоскости (ВСС₁), прямая С₁Т лежит в этой плоскости, значит КТ⊥С₁Т. Треугольник прямоугольный.

sinα = KT/C₁K = √3/√10
cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - 3/10) = √(7/10) = √70/10

В основании параллелепипеда, параллелограмме a=3 см, b=8 см, ∠α=60°, d - меньшая диагональ основания.
В параллелограмме меньшая диагональ лежит напротив меньшего угла. В параллелограмме пара острых и пара тупых углов. ∠60° острый, значит d лежит напротив него.
Площадь боковой поверхности: Sб=P·h=2(a+b)·h, где h - высота параллелепипеда.
h=Sб/(2(a+b))=286/(2(3+8))=13 см.
По теореме косинусов d²=a²+b²-2ab·cos60=3²+8²-2·3·8/2=49,
d=7 см.
Диагональное сечение прямого параллелепипеда - это прямоугольник, образованный диагоналями основания и боковыми рёбрами.
Площадь диагонального сечения: 
Sд=d·h=7·13=91 см² - это ответ.