Втреугольнике abc проведены высоты aa1 и bb1. чему равен угол c, если ab=4 и a1b1= 2 корня из 3х. (первая лемма о высотах)

Треугольники АВ1В и АА1В прямоугольные с общей гипотенузой АВ, значит оба они вписаны в одну окружность с диаметром АВ.
Точка О - центр окружности. АО=ВО=АВ/2=4/2=2.
В тр-ке АА1В1 ОА1=ОВ1=R=2.
По теореме косинусов cos(А1ОВ1)=(ОА1²+ОВ1²-А1В1²)/(2·ОА1·ОВ1)= (2²+2²-(2√3)²)/(2·2·2)=-4/8=-1/2.
∠А1ОВ1=arccos(-1/2)=120°.
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают. В нашем случае АС и ВС - секущие, значит:
∠АСВ=(∩АВ-∩А1В1)/2=(180°-120°)/2=30° - это ответ. 

1). Ромб - четырёхугольник с равными сторонами. Одна из диагоналей = 6 см => половина диагонали = 3 см (так как в точке пересечения диагоналей ромба диагонали делятся пополам под прямым углом). 2). У нас получился прямоугольный треугольник, где сторона ромба является гипотенузой, и одним из катетов этого треугольника является половина диагонали. 3). По теореме Пифагора найдём 2-й катет: 5² = 3² + х² => х² = 25 - 9 = 16 => х = 4 см. Это мы нашли второй катет и половину второй диагонали соответственно. 4). Вторая диагональ = 4*2 = 8 см. 5). Площадь ромба находится по этой формуле: S = (d1*d2)/2 = (8*6)/2 = 48/2 = 24 см². ответ: 24 см².

Опишу по действиям,внимательнее:
1)От меньшего основания нужно проведи 2 высоты к большему основанию.
2)Т.к  меньшее основание равно высоте,пусть высота будет - х
3)У тебя получится квадрат и два треугольника , т.к. Первый угол =45,а второй 90.
4)Исходя из 3,можно понять что  это равнобедренный прямоугольный треугольник
5)Исходя из 4,можно сделать вывод,что  катеты равны
6)х+х+х=12.Это мы нашли  большее основание,следовательно х=4.  
7)подставляем в формулу S=(a+b):2h
8)a=4, b=12, h=4см
ответ:
S=32 кВ.см.