:в треугольнике авс: ав = 4, вс = 5, ∠в = 110°. найдите: ∠c, ∠a и сторону ab.

Не уверен, что начальные данные даны правильно. Угол не табличный, все значения получаются иррациональными.

1) Найдём сторону AC по теореме косинусов



2) Теперь найдём углы по теореме синусов

Для начала заметим, что угол OMQ=90°, так как ОВСQ - прямоугольная трапеция (ОВ||QC), значит в ней <O+<Q=180°, а ОМ и МQ - биссектрисы этих углов, тогда их половины в сумме равны 90° и <OMQ=90°). МА - высота из прямого угла и по ее свойствам МА²=ОА*АQ или 36=4*АQ. Отсюда АQ= 9. А это и есть радиус второй окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВМ. По Пифагору ОМ=√(ОВ²+ВМ²)=√(16+36)=√52.(ВМ=МА=МС - как касательные из одной точки к окружности). ВН - тоже высота из прямого угла и по ее свойствам (h=a*b/c) получим ВН=4*6/√52. ВА=2*ВН=48/√52.
Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью. то есть ВС²=BD*BA. Или BD=ВС²/BA.  ВС = ВМ+МС=12 (так как ВМ=АМ и МС=АМ - касательные из одной точки к окружности).BD = 144:ВА= 144:(48/√52) = 6√13.
ответ: радиус второй окружности равен 9. Отрезок ВD=6√13.
P.S. Проверьте арифметику.

Вариант решения. 

Обозначим центр меньшей окружности буквой К, центр большей - Е.

ВК и СЕ - радиусы этих окружностей. 

Радиусы окружностей, проведенные к касательной  в точку касания, образуют с ними прямой угол.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.   ⇒

ВМ=МА.

АМ=МС на том же основании. 

Отсюда ВМ=МС=АМ=6

Следовательно, АМ - медиана треугольника ВАС.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой проведена, то этот треугольник- прямоугольный.

Треугольник ВАС = прямоугольный, и его гипотенуза ВС=2АМ=12.

Проведем прямую КР параллельно  прямой L

В прямоугольнике КВСР КР=ВС=12, угол КРЕ - прямой. 

⇒ треугольник КРЕ - прямоугольный.

В нем катет КР=12, катет РЕ= R-4

Гипотенуза КЕ=r+R=4+R

По т. Пифагора выразим гипотенузу КЕ

КЕ²=КР²+РЕ²

(4+R)²=12²+(R-4)²

16+8R+R²=144+R²-8R+16

16 R=144

R=9

Так как угол ВАС=90°,  смежный с ним угол САD=90°, и тогда хорда СD, на которую он опирается, - диаметр окружности и равна 2R=18

DВ найдем из прямоугольного треугольника ВСD.

DB²=BC²+CD²

BD²=144+324

BD=6√13