Треугольник, периметр которого равен 48 см., подобен прямоугольному треугольнику с катетами 3 см. и 4 см. найдите его наименьшую сторону.

Сразу поправлю: часть круга, ограниченная дугой и её хордой называется сегментом.
Его площадь равна площади сектора минус площадь треугольника AOB.
обозначения: точка O -центр круга;   точки A, B -концы хорды
H -длина хорды (как я понял, равна  см)
α -центральный угол AOB (для удобства в формулах)
Считать будем округлённо (если выразить ответ точно, то получится кучка дробей и радикалов).

В равнобедренном треугольнике AOB проведём высоту (пройдёт от точки O до центра хорды). Получим два прямоугольных треугольника-  их гипотенуза равна радиусу круга, острый угол равен половине угла α. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Используя это, выразим и найдём радиус:

Найдём площадь сектора:

Найдём площадь равнобедренного треугольника AOB по формуле:

И, наконец найдём площадь сегмента:

1) Если диагонали четырёхугольника делят его углы пополам, то этот четырёхугольник - ромб.

Да. Каждая диагональ такого четырехугольника делит его на  треугольники, углы которых при основании равны, т.е. на  равнобедренные. Все стороны четырехугольника равны. Это - ромб. 

2) Центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения его высот. 

Да. Центр окружности, описанный около треугольника, лежит в точке пересечения его срединных перпендикуляров. Высоты правильного треугольника - перпендикуляры к серединам его сторон, т.е. срединные. 

3)Треугольник, стороны которого равны 7, 12, 13 является прямоугольным.

Нет. Эта тройка не отвечает т. Пифагора с²=а²+b². Прямоугольным является треугольник со сторонами 5,12,13. 

4)Любые два прямоугольных треугольника подобны.

Нет. Наличия прямого угла недостаточно для подобия прямоугольных треугольников. Сравни равнобедренный прямоугольный треугольник и треугольник с острыми углами 30º и 60º