Вычислите объем правильной треугольной пирамиды со сторонами основания 5 и 8 см, боковое ребро которой наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.

1)∠а=50°,   ∠в=х,  ∠с=12х ∠а+∠в+∠с=180 50+х+12х=180 13х=130°, х=10° ∠в=10°,  ∠с=120° 2)  ∠с=90° ,  ∠в=35°,  ∠а=90°-35°=55° δасd,  ∠d=90°,  ∠acd=35° 3)  δabc,  ∠a=∠b - 60°,  ∠c=2*∠a,  ∠a=x, ∠b=x+60, ∠c=2x x+(x+60)+2x=180 4x=180-60=120 x=120÷4 x=30 ∠a=30°,  ∠b=30°+60°=90°,  ∠c=30°*2=60° 4) высота разбивает равнобедр. треугольник на 2 прямоугольных треугольника. высота является в полученном треугольнике - катетом и она в 2 раза меньше боковой стороны т.е. гипотенузы, поэтому катет лежит против угла 30°. значит углы при основании равнобедренного треугольника по 30°,   а угол при вершине 180°-30°-30°=120° ответ: наибольший угол при вершине равнобедренного треугольника.

Начертим четырехугольник abcd и проведём диагонали ac и bd. по теореме косинусов: bd² = ab² + ad² - 2ab*ad*cosa bd² = bc² + cd²   - 2bc*cd*coscac² = ab² + bc² - 2ab*bc*cosb ac² = ad² + dc² - 2ad*dc*cosd теперь сложим все эти четыре равенства: ac² + ac² + bd² + bd² = ab² + ad² - 2ab*ad*cosa + bc² + cd²  - 2bc*cd*cosc + ab² + bc² - 2ab*bc*cosb + ad² + dc² - 2ad*dc*cosd 2ac² + 2bd² = 2ab² + 2bc² + 2dc² + 2ad² - 2ad*dc*cosd - 2bc*cd*cosc - 2ab*ad*cosa -   2ab*bc*cosb ac² + bd² = ab² + bc² + dc² + ad² - ad*dc*cosd - bc*cd*cosc - ab*ad*cosa -   ab*bc*cosb ac² + bd² + ad*dc*cosd + bc*cd*cosc + ab*ad*cosa + ab*bc*cosb = ab² + bc² + dc² + ad²   ad*dc*cosd + bc*cd*cosc + ab*ad*cosa + ab*bc*cosb > 0 (косинус тупого угла < 0, косинус острого угла > 0, против большей стороны лежит больший угол, поэтому произведение с отрицательным косинусом тупого угла со сторонами будет меньше, чем произведение косинуса острого угла с другими двумя сторонами) значит, ac² + bd² < ab² + bc² + dc² + ad². в параллелограмме ab = cd, bc = ad, cosa = cos c = -cosb = -cosd (противоположные стороны параллелограмма равны, противоположные углы равны; т.к.  ∠a и  ∠b,  ∠c и  ∠b - односторонние, то косинусы их будут противоположны)   ac² + bd² + ad*dc*cosd + bc*cd*cosc + ab*ad*cosa + ab*bc*cosb = ab² + bc² + dc² + ad² ac² + bd² - ad*ab*cosa + ad*ab*cosa + ab*ad*cosa - ad*ab*cosa = ab² + bc² + dc² + ad² ac² + bd² =   ab² + bc² + dc² + ad² (данное равенство называется тождеством параллелограмма).