На диагонали ас параллелограмма авсд отметили точки e и f так что af = сf. докажите что ве = df

При условии "На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки E и F так что AE = СF. Доказательство.

Объяснение:

В параллелограмме противоположные стороны равны. => AB = CD.

<BAC (<BAE) = <ACD (FCD) как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и CD и секущей АС.

АЕ = CF (дано).

Треугольники АВЕ и CDF равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках стороны, лежащие против равных углов равны.

ВЕ = DF. Что и требовалось доказать.

Длина основания - 6см, длины боковых сторон - 14см. Доказательство от противного - строим произвольный равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и AC. Из вершины А строим высоту AH, которая будет являться так же медианой и биссектрисой. Отсюда получаем, что треугольник ABH=ACH; BH=CH=1/2BC. Предположим, что длина основания BC=14см, то BH=CH=7см, а AB=AC=6см. Найдём синус угла BAH
sin(BAH)=BH/AB=7/6>1
Синус угла не может быть больше 1, значит такой треугольник невозможен. Значит основание BC=6см, а стороны AB=AC=14см. Для проверки можем найти синус того же угла при новых условиях, он будет равен sin(BAH)=3/14, это допустимое значение. Значит основание треугольника - 6см, а боковые стороны - 14см.

Дано :Δ АВС, АВ=ВС. О-центр вписанной окружности. ВО=34, ОN=16 см.
      
OK=OM=ON=16 - радиусы вписанной окружности.
Стороны треугольника являются касательными к окружности.
По свойству касательной, проведенной из одной точки к окружности, отрезки касательных равны:
ВК=ВМ=30 по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОВМ:
ВМ²=ОВ²-ОМ²=34²-16²=(34-16)(34+16)=18·50=900=30²
АК=АN=CM=CN=x
Так как треугольник равнобедренный и  BN=(34+16)=50 cм -  высота и медиана и биссектриса.
По теореме Пифагора из треугольника АВN:
AB²=BN²+AN²
(30+x)²=50²+x²,
900+60х+х²=2500+х²,
60х=1600.
6х=160,
х=80/3
S(ΔABC)=1/2 ·2x·50=50x=50·80/3=4000/3 кв.см