Докажите что средняя линия трапеции делит каждую ее диагональ пополам

дана трапеция ABCD

EM - средняя линия

пересекает диагонали в точках К и N

AC и BD - диагонали

из свойств средней линии трапеции: EM||BC||AD

CM=MD и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку N.

AE=EM и EM||BC, тогда по теореме Фалеса ( если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне) EM проходит через точку K.

Следовательно: AK=CK и DN=BN

можно также доказать через треугольники ABC и DCB - средняя линия трапеции будет средней линией этих треугольников. Средняя линия треугольника делит стороны пополам, значит диагонали пересекаются пополам.

смотри рисунок 
 AB=А1В1=4см
 CD=С1D1=4см
 BC=B1C1=4см
DA=D1A 1=4см
нам надо найти площадь  АLA1L1
нам известна сторона  АА1=корень из5
АА1=LL1 =корень из 5
 A1L1 lделит сторону С1D1 на 2 одинаковых отрезка длинною в 2 см
в верхнем основании у нас образуется прямоугольный треугольник   A1L1D1 по теореме пифагора найдём длину  A1L1, зная что стороны D1A 1=4см и D1L1=2см мы получим A1L1=корень из 4^2+2^2=корень из 20 или это 2корняиз5 
значит сторона A1L1=AL и равна 2корня из 5см
площадь  АLA1L1 равна  AL*АА1 и это равно корень из 5 * 2корня из 5=2корня из25=10см^2

1). При пересечении прямых имеем 4 попарно равных угла в сумме =360°. Итак, у нас два угла по 30° и два угла по 150°

2). Угол ВСА = 180°-(36°+36°) = 72° = углу ВАС. Углы КАС и КАВ равны ( АК - биссектриса) =36°.

Треугольник САК - равнобедренный, т.к. углы КСА и АКС = 72°

Треугольник АКВ - равнобедренный, т.к. углы АВК и КАВ = 36°

3) Медиана делит сторону АС пополам. Соединяя любую точку на медиане с точками А и С имеем равные ртрезки АО и СО. У треугольников АОМ и СОМ равны стороны АМ и МС, АО и СО, а ОМ - общая, значит они равны.

4) В прямоугольном треугольнике АВС напротив угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть АС = 4.

АВ = АС²-ВС² = 2√3. Но АВ = 2АD*Cos30°; Cos30°= 0.866 (по таблице косинусов

АD = АВ/(2*0,866) = 2√3/(2*0,866) = 2 (т.к.√3= 2*0,866)

Итак, периметр АВС = АВ+ВС+СВ =2√3 +2+4 < 10.