Втреугольнике abc угол abc=29°, уголacb=65°. найдите внешний угол при вершине a. ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов не смежных с ним, поэтому внешний угол при вершине
 А = угол В+угол С=29+65=94 градуса.

здесь можно использовать тот факт, что смежный к углу в 120 градусов угол = 60 градусов

продолжим сторону АВ и опустим из А1 _|_ на АВ (обозначим точку М)

также построим перпендикуляры из А1 к стороне АС (АС2) и биссектрисе ВВ1 (АВ2):

А1М _|_ АВ, А1С2 _|_ АС, А1В2 _|_ ВВ1

точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла (верно и обратное утверждение: равноудаленная от сторон угла точка лежит на биссектрисе этого угла).

А1 по построению лежит на биссектрисе угла САВ => А1М=А1С2

т.к. смежный к углу АВС угол СВМ = 60 градусов = СВВ1=В1ВА, то А1В ---биссектриса угла МВВ1 => А1М = А1В2 = А1С2

а теперь из равенства А1В2 = А1С2 делаем вывод, что А1В1 будет биссектрисой угла СВ1В

т.е. углы СВ1А1 = А1В1В равны.

аналогичные построения и рассуждения докажут, что В1С1 ---биссектриса угла ВВ1А (здесь продолжить сторону СВ, угол смежный с СВА ---АВК=60 градусов... и опускать перпендикуляры из С1 на АС, СВ, ВВ1)

итак, получили равенство углов: СВ1А1 = А1В1В и ВВ1С1 = С1В1А

развернутый угол СВ1А = 180 = СВ1А1+А1В1В+ВВ1С1+С1В1А = 2*А1В1В + 2*ВВ1С1 = 

2*(А1В1В + ВВ1С1) = 2*А1В1С1 =>

А1В1С1 = 180/2 = 90 градусов

 

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 
Медианы треугольника делят его на три  равновеликие части.
Рассмотрим треугольник ВКС. 
В нем ВК=6, КС=8, ВС=10.
Площадь этого треугольника равна 1/3 площади исходного треугольника АВС. 
Можно найти площадь треугольника ВКС по формуле Герона. 
А можно, обратив внимание на отношение сторон ВК:КС:ВС=3:4:5,
вспомнить, что это египетский треугольник, он прямоугольный. 
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 
SВКС=ВК*КС:2=6*8:2=24
SАВС=3 SВКС=24*3=72