Высота bd треугольника abc делит сторону ac на отрезки, равные 7 см и 4 см. площадь треугольника равна 55 кв. см. найдите длину bd.

S=1/2AC*BD, АС=7+4=11 (см), 55=1/2*11*BD, 2*55/11=BD, BD=10 (cм).

треугольник АВС, уголВ=105, уголС=45, уголА=180-105-45=30, против наибольшего угла лежит наибольшая сторона=АС, наименьшая высота идет к наибольшей стороне - высота ВН, треугольник ВНС прямоугольный, уголНВС=90-уголС=90-45=45, треугольник ВНС равнобедренный, СН=ВН=х, треугольник АВН прямоугольный, АН=ВН/tgA=х/(1/√3)=х√3, АС=АН+НС=х√3+х=х(√3+1), площадь=1/2*АС*ВН, 2*(√3+1)=х(√3+1), х=2=ВН 

если tg не проходили тогда - треугольник АВН прямоугольный, АВ=2*ВН=2*х (ВН лежит против угла 30 =1/2 гипотенузы), АН²=АВ²-ВН²=4х²-х²=3х², АН=х√3, а далее по тексту выше

DE- серединный перпендикуляр в стороне АВ.
Точка Е равноудалена от точек А и В, значит АЕ=ВЕ
Р(Δ АВЕ)=АВ+АЕ+ВЕ
40=14+2АЕ   ⇒   АЕ=13 см

Из прямоугольного треугольника ADE:
cos ∠ A= AD/AE=7/13

Так как треугольник АВС равнобедренный АВ=ВС, то и углы при основании равны
∠А=∠С
cos∠C=7/13

По теореме косинусов из треугольника ВЕС:
ВЕ²= ЕС² +ВС² - 2·ЕС·ВС·cos ∠C

13²= EC²+14²-2·EC·14·(7/13)

ЕС=х
Решаем квадратное уравнение:
·13х²-196х+351=0
D=(-196)²-4·13·351=38416-18252=20164=142²

x=(196-142)/26 =27/13     или        х=(196+142)/26=13

АС=АЕ+ЕС=13+(27/13)=196/13
или
АС=13+13=26