Три окружности, радиусы которых равны 2, 3, 4 соответственно, попарно касаются внешним образом в точках a, b, c. найдите радиус окружности, описанной около треугольника abc

Пусть О1, О2 и О3 - центры данных нам окружностей, точки А, В и С - точки их касания. Тогда О1А=О1С=2, О2А=О2В=3, О3В=О3С=4.
Значит стороны треугольника О1О2О3 равны:5,6 и 7.
Тогда площадь этого треугольника по Герону равна:
S=√[p*(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, а,b,с - стороны треугольника.
р=(5+6+7)/2=9. S=√(9*4*3*2)=6√6.
Заметим, что окружность, описанная вокруг треугольника АВС - это вписанная в треугольник О1О2О3 окружность, так как точки А, В и С окружности принадлежат сторонам О1О2,О2О3 и О3О1 соответственно.
Докажем это. Есть формула нахождения длины отрезка от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью: расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 или d=р-с, где р - полупериметр, с - сторона, противоположная углу треугольника.
В нашем случае: О1А=9-7=2, О2А=9-6=3, О3В=9-5=4, следовательно, точки касания вписанной в треугольник АВС окружности совпадают с точками А, В и С  касания данных нам окружностей.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен r=S/p или в нашем случае
r=6√6/9=2√6/3.
ответ: r=2√6/3.

Назовём трапецию АВСД, а точки касания Е и К.
Проведём отрезки в точки касания и в точки Е и К.
Найдём радиус вписанной окружности:
r = (EK/2) / cos 30° = 10 / (√3/2) = 20 / √3 см.
Отрезок ЕВ = r*tg 30° =( (20 / √3)*(1/√3) = 20 / 3 см.
Сторона ВС = 2*ЕВ = (20/3)*2 = 40/3 = 13(1/3) см.
Отрезок АЕ = r/tg 30° =( (20 / √3)/(1/√3) = 20  см.
Сторона АД = 2*АЕ = 2*20 = 40 см.
Сторона АВ = АЕ+ЕВ = 20+20/3 = 80/3 = 26(2/3) см.
Для проверки использовать свойство трапеции, в которую вписана окружность - сумма боковых сторон равна сумме оснований: 
40+13(1/3) = 53(1/3) см,
26(2/3)*2 = 53(1/3) см.

Угол между плоскостями α и β - искомый двугранный угол. Прямая а - ребро двугранного угла.
Проведем АВ⊥α и АС⊥β. АВ = √2, АС = 1
.
В плоскости α проведем ВН⊥а. ВН - проекция наклонной АН на плоскость α, значит АН⊥а по теореме о трех перпендикулярах.
Если АС⊥β, то СН - проекция наклонной АН на плоскость β. Так как наклонная перпендикулярна прямой  а, то и ее проекция будет перпендикулярна прямой а по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
Итак, СН⊥а, ВН⊥а, значит ∠СНВ - линейный угол двугранного угла - искомый.

ΔАВН: ∠АВН = 90°, sin∠AHB = AB : AH = √2/2, ⇒
           ∠AHB= 45°
ΔAHC: ∠ACH = 90°, sin∠AHC = 1/2, ⇒
           ∠AHC = 30°

∠CHB = ∠AHB + ∠AHC = 45° + 30° = 75°