Длина основания равнобедренного треугольника равна 12, а боковые стороны равны 18. к боковым сторонам проведены высоты. как найти отрезок, концы которого с основаниями высот?

АС - основание. Проводим высоты АН2, СН3 и ВН1 соответственно из углов А, С и В.
Высота ВН1, проведённая к основанию является медианой и биссектриссой угла В, тогда СН1 = 12/6 =2
Рассмотрим треугольник ВСН1: cos C = СН1 / ВС = 6/18 =1/3
Расмотрим треугольник АСН2: cos C = CH2 / AC, отсюда СН2 = АС*cos C = 12 * 1/3 = 4
Тогда ВН2 = 18-4 = 14
Согласно теореме: в любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному, т.е. треугольник ВН2Н3 подобен треугольнику АВС. к = ВН2/ВС = 14/18 = 7/9
Н3Н2 = 12*7/9 = 28/3 = 9 \frac{1}{3}

Нехай АВСD - ромб, АС=16, АВ=ВС=СD=AD=10
О - точка перетину діагоналей

Діагоналі ромба (як паралелограма) перетинаються і в точці перетину діляться пополам, тому АО=16:2=8 см

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Тому трикутник АОВ прямокутний з прямим кутом О
За теоремою Піфагора

Значить друга діагональ дорівнює BD=2BO=2*6=12 см

Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей. Площа ромба (як паралелограма) дорівнює добутку сторони на висоту проведену до цієї сторони.

звідки висота ромба дорівнює
 см
відповідь: 9.6 см

Эта фигура получится - трапеция))
т.к. радиусы перпендикулярны ВМ (касательной) и, следовательно, они параллельны-они будут основаниями трапеции,
отрезок касательной будет высотой трапеции (EF).
радиусы окружностей можно найти через площадь треугольников, в которые окружности вписаны,
площадь этих треугольников вычисляется или по формуле Герона (т.к. все стороны в них известны) или как половина произведения двух сторон на синус угла между ними (углы известны из равностороннего треугольника 60° )
высота трапеции находится из прямоугольных треугольников (с катетами-радиусами), гипотенузы которых будут  биссектрисами углов (АО1; СО2; т.к. центр вписанной окружности=точка пересечения биссектрис углов треугольника)
отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны))