Дан вписанный четырёхугольник abcd. лучи ab и dc пересекаются в точке p, а лучи bc и ad — в точке q. оказалось, что четырёхугольник pbdq является вписанным. найдите угол pqa, если ∠bad=60∘, ∠bac=18∘.

Из точки d проведем высоту dk в треугольнике adc, adc равнобедренный, поэтому dk является так же и медианой. ak=kc, угол bac=30, значит в прямоугольном треугольнике abk катет bk=ab/2 поскольку лежит против угла 30 гр. отсюда bk квадрат равен ab квадрат/4  из теоремы пифагора также вк квадрат=ав квадрат-ак квадрат. то есть авквадрат/4=авквадрат- ак квадрат. подставим ак=ас/2=9. получим ав=27. отсюда вк=ав/2=13,5. в прямоугольном треугольнике дас    дк=кс*tg60=9корней из 3(поскольку угол дск=60 по условию). теперь знаем три стороны треугольника дкв. кв=13,5    кд=9 корень из3        дв=корень из 189. отсюда по теореме косинусов cosдкв=( в квадрат+с квадрат -а квадрат)/2 в с. подставляем cos дкв=((9 корней из3)квадрат+(13,5)квадрат-(корень из 189))/2*(9корней из3)*13,5=0,56. отсюда по таблицам угол дкв между плоскостями треугольников =56 градусов.

Упараллелограмма существуют не только свойства, но и  признаки. их все. признаки четырех угольник является параллелограммом если: 1. противоположные стороны параллелограмма всегда попарно равны 2. пересекающиеся диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам 3. противолежащие углы равны 4. противоположные стороны параллельны и равны свойства 1. противолежащие углы равны 2. противоположные стороны параллелограмма всегда попарно равны 3. сумма смежных углов 180 градусов 4. пересекающиеся диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам 5. точка пересечения диагоналей, является точкой симметрии фигуры 6. сумма всех углов 360 градусов  напишу еще пару свойств: сумма квадратов диагоналей параллелограмма   будет равна  сумме квадратов его сторон.проведенная биссектриса всегда будет отсекать равнобедренный треугольник