Треугольник adb=треугольникуcbd. доказать, что ab=cd и ad=bс.

То что они равные, уже доказывает равенство соответствующих элементов. А по углам, равные элементы это противоположные стороны, следовательно AD=BC AB=CD

Из точки к плоскости проведены две наклонных. Длина одной из них равна 4√5, а длина ее проекции - 8 см. Угол между проекциями наклонных равен 60 градусов, а длина отрезка, соединяющего основания наклонных равна 7 см. Найдите длину второй наклонной. 
-----------------------------------
Сделаем рисунок. 
На плоскости получился треугольник.
Обозначим его вершины АВС. 
Точку, удаленную от плоскости и в которой соединяются наклонные,
обозначим К. 
Для того, чтобы найти наклонную КС, нужно знать КВ и ВС, которые являются катетами прямоугольного треугольника КВС ( КВ перпендикулярна к плоскости и проекциям наклонных).
 КВ=√(АК²-АВ²)=√(80-64)=4 см 
В треугольнике АВС проведем высоту АН 
Угол АВН=30 градусов. 
ВН как катет прямоугольного треугольника АВН, противолежащий углу АВН,   равен АВ:2=4см  
= АВ*cos60=8√3):2=4√3  
Из треугольника АНС найдем НС 
НС(АС²-АН²)=√(49-48)=1см
ВС=ВН+НС=5см
Из прямоугольного треугольника КВС найдем нужную длину наклонной КС.  
КС=√(КВ²+ВС²)=√(16+25)=√41

Прямая линия, получаемая при пересечении двух плоскостей,определяется двумя точками, и каждая из них принадлежит обеим плоскостям.
На одной боковой грани даны две общие точки. На рисунке это с и м. 
На остальных гранях нет второй точки для плоскости альфа. 
Чтобы найти ее. продолжим прямую см до пересечения с  продолжением бокового ребра в точке е. 
Точка е принадлежит плоскости альфа и плоскости двух боковых граней параллелепипеда. 
Соединив точку е с точкой а основания  получим линию пересечения плоскости альфа с боковой гранью. Эта линия ка. 
Соединим м и к на верхнем основании параллелепипеда.   мк проходит по верхнему основанию параллельно ас. 
Четырехугольник (трапеция) смка - искомое сечение.