площадь основания конуса равна 36п, а длина его образующей равна 10. найдите высоту конуса.

Из площади найдем радиус окружности.

 
Высоту конуса найдем по теореме Пифагора.

асательная прямая  t  к окружности  c  пересекает  окружность в единственной точке  t. для сравнения,  секущие прямые  пересекают окружность в двух точках, в то время как некоторые прямые могут не пересекать окружность совсем. это свойство касательной прямой сохраняется при многих   преобразованиях[en], таких как  подобие,  вращение,  параллельный перенос,  инверсия  и  картографическая проекция. говоря техническим языком, эти преобразования не меняют  структуру инцидентности  касательных прямых и окружностей, даже если сами прямые и окружности деформируются.

радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой. и обратно, перпендикуляр к радиусу в конечной точке (на окружности) является касательной прямой. окружность вместе с касательной прямой имеют  осевую симметрию  относительно радиуса (к точке касания).

по  теореме о степени точкипроизведение длин pm•pn для любого луча pmn равно квадрату pt, длине отрезка от точки p до точки касания (отрезок показан красным цветом).

никакая касательная прямая не может проходить через точку внутри окружности, поскольку любая такая прямая должна быть секущей. в то же время для любой точки, лежащей вне круга, можно построить две проходящие через неё касательные прямые. фигура, состоящая из окружности и двух касательных прямых, также обладает осевой симметрией относительно прямой, соединяющей точку  p  с центром окружности  o  (см. рисунок справа). в этом случае отрезки от точки  p  до двух точек касания имеют одинаковую длину. по  теореме о степени точки  квадрат длины отрезка до точки касания равен степени точки p относительно окружности  c. эта степень равна произведению расстояний от точки  p  до двух точек пересечения окружности любой секущей линией, проходящей через  p.

угол θ между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой между концами хорды.

касательная прямая  t  и точка касания  t  свойством сопряжённости друг другу; это соответствие можно обобщить в идею о  полюсе и поляре. такая же взаимосвязь существует между точкой  p  вне окружности и секущей линией, соединяющей две точки касания.

если точка p лежит вне окружности с центром o, и если касательные прямые из p касаются окружности в точках t и s, то углы ∠tps и ∠tos в сумме 180°.

если  хорда  tm проведена из точки касания t прямой p t и ∠ptm ≤ 90°, то ∠ptm = (1/2)∠mot.

в одном селе жил крестьянин.    у него три сына: старший — данило — умный, средний — гаврило — «и так, и сяк», младший — иван — дурак. братья зарабатывают на жизнь тем, что выращивают пшеницу, отвозят её в столицу и там . вдруг случается беда: кто-то по ночам начинает вытаптывать посевы. братья решают дежурить по очереди в поле, с тем чтобы узнать, кто же это такой.

когда же приходит черед младшего брата, он идет в поле и видит, как в полночь появляется белая кобылица с длинной золотой гривой. ивану удается вспрыгнуть кобылице на спину, и она пускается вскачь. наконец, устав, кобылица просит ивана отпустить её, обещая родить ему трех коней: двух — красавцев, которых иван, если захочет, может продать, а третьего — конька «ростом только в три вершка, на спине с двумя горбами да с аршинными ушами» — ивану нельзя отдавать никому ни за какие сокровища, потому что он будет ивану лучшим товарищем, и защитником. иван соглашается и отводит кобылицу в пастушеский , где спустя три дня кобылица и рожает ему трех обещанных коней.

а дальше все события связанные с иваном , но всюду конек-горбунок   дурачку.

иван служит в царской конюшне, где он ничего не делает( за него конек горбунок все выполняет). тут его подставляет царский спальник , подкидывает  перо жар-птицы, после чего царь отправляет  дурачка за той самой  птицей.

иван возвращается к царю с жар-птицей с конька горбунка.

после иван с горбунком доставляет царю  царь-девицу, после перстень для нее.

царь подносит царь-девице перстень, однако она отказывается выходить за него замуж, говоря, что он слишком стар для нее, и предлагает ему средство, при которого ему удастся : нужно поставить три больших котла: один — с холодной водой, другой — с горячей, а третий — с кипящим молоком — и искупаться по очереди во всех трех котлах. царь опять зовет ивана и требует, чтобы он первым все это проделал. конек-горбунок и тут обещает ивану свою : он махнет хвостом, макнет мордой в котлы, два раза на ивана прыснет, громко свистнет — а уж после этою иван может прыгать даже в кипяток. иван все так и делает — и становится писаным красавцем. увидев это, царь тоже прыгает в кипящее молоко, но с другим результатом: «бух в котел — и там сварился». народ тут же признает царь-девицу своей царицей, а она берет за руку преобразившегося ивана и ведет его под венец. народ царя с царицей, а во дворце гремит свадебный пир.