Вугол c величиной 40 вписана окружность , которая касается сторон угла в точках a и b , где o - центр окружности. найдите угол aob.

Углы ОАС и OBC будут равны 90°, т.к. радиу, проведённый а точку касания, перпендикулярен касательной.
Тогда угол АОВ = 360° - угол ОАВ - угол ОВС - угол С = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°.

точка Д лежит на продолжении АВ, биссектриса внешнего угла не может лежать на стороне треугольника.

Треугольник АВС уголС=180-уголА-уголВ=180-10-104=66, внешний угол С=180-66=114,

треугольник ВСЕ равнобедренный ВС=СЕ, угол СВЕ=уголСЕВ=(180-внешний уголС)/2=(180-114)/2=33,

угол ДВЕ = 180-уголВ-уголСВЕ=180-104-33=43, СД для треугольника ВСЕ = медиане=высоте= биссетрисе, для треугольника ВДЕ СД = медиане высоте - треугольник равнобедренный, ВД=ДЕ , угол ДВЕ=уголВЕД=43, угол ВДЕ = 180 - 2 х уголл ДВЕ =

=180 - 2 х 43 = 94

Я про такой треугольник много уже написал тут. Ну, можно еще.

Но сначала решение "для учителя".

Центр окружности лежит на стороне 15 и равноудален от других сторон, то есть он совпадает с концом биссектрисы угла напротив стороны 15. Поэтому он делит сторону 15 в отношении 13/14. Длины этих отрезков 15*13/(13+14) = 65/9 и 15*14/(13 + 14) = 70/9;

Площади треугольников, на которые делит треугольник биссектриса, равны 13*R/2 и 14*R/2, поскольку радиус окружности R играет в каждом из них роль высоты к известной стороне. Сумма их равна S = 27*R/2; 

Площадь треугольника S считается по формуле Герона.

Полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2  = 21;

p - 13 = 8; p - 14 = 7; p - 15 = 6; 

S^2 = 21*8*7*6 = (7*3*4)^2; S = 7*3*4 = 84;

Получилось

27*R/2 = 84; R = 56/9;

 

Теперь вот что. Часто можно найти площадь треугольника, если заметить, что его длины сторон выражены целыми числами, присутствующими в Пифагоровых тройках. Или - что несколько сложнее - пропорциональны им. В данном случае присутствие чисел 13 (из тройки 5,12,13) и 15 (из "египетской" тройки 9, 12, 15, кратной 3,4,5) наводит на мысль, что треугольник составлен из двух Пифагоровых. Это действительно так - достаточно приставить друг к другу такие треугольники одинаковыми катетами 12, так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовали бы сторону 14.

Это означает, что в треугольнике со сторонами 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12, и она делит сторону 14 на отрезки 5 и 9. (Стоит ли упоминать, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам, ДРУГИХ таких треугольников не бывает :))

Это простое наблюдение не требует сложных вычислений (записать это намного труднее, чем сообразить). В результате площадь треугольника считается устно, и равна

S = 12*14/2 = 84; 

В данном случае площадь легко считается и по формуле Герона, но это не всегда так, и - кроме того - применение сложных формул увеличивает вероятность ошибки. А метод "Пифагоровых троек" позволяет сосчитать площадь моментально, устно и безошибочно. 

Стоит только помнить, что после получения ответа таким надо еще уметь получить его "стандартными" методами. Если поискать среди моих задач - там есть более подробное изложение различных которые надо прменять в таких случаях. Формула Герона вообще должна применяться только тогда, когда нет другого выхода.