Abcd — прямоугольная трапеция с прямым углом а и меньшим основанием вс=1. окружность с центром в точке о касается прямой вс в точке с и проходит через точки а и d, угол сда=60° найдите длину сд

ВС - касательная к окружности.
СЕ⊥ВС, значит СЕ лежит на диаметре окружности, то есто проходит через её центр.
Хорда АД⊥СЕ, значит АЕ=ДЕ.
В тр-ке АСД СЕ - высота, АЕ=ЕД, значит СЕ - медиана, значит ΔАСД - равнобедренный.
Т.к. ∠Д=∠А=60°, то ∠АСД=60°, значит ΔАСД правильный.
СД=АД=2АЕ.
АВ║СЕ, ВС║АЕ, значит АЕ=ВС=1.
СД=2АЕ=2 - это ответ.

MN II AB как средняя линия в треугольнике ABC;
ML II CD как средняя линия BCD;
KL II AB как средняя линия ABD;
KN II CD как средняя линия ACD;
Поэтому противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны, то есть это параллелограмм.
По условию его диагонали KM и LN перпендикулярны, то есть это - ромб, все его стороны равны.
Так же по условию KN = LN, то есть треугольник KNL равносторонний. 
Следовательно ∠NKL = 60°;
Так как стороны этого угла параллельны сторонам искомого угла (то есть KL II AB; KN II CD), то прямые AB и CD тоже образуют угол 60°.

P = 2*(a+b) = 30
a+b = 15
---
d = √(a²+b²) = 14
√(a²+b²) = 14
a²+b² = 14²
a = 15-b
(15-b)² + b² = 14²
225 - 30b + b² + b² = 196
2b² - 30² + 29 = 0
b₁ = (30 - √(30² - 4*2*29))/4 = 15/2 - √668/4 = 15/2 - √167/2
b₂ = (30 + √(30² - 4*2*29))/4 = 15/2 + √668/4 = 15/2 + √167/2
a₁ = 15 - b₁ = 15 - 15/2 + √167/2 = 15/2 + √167/2
a₂ = 15 - b₂ = 15 - 15/2 - √167/2 = 15/2 - √167/2
Решение одно, просто а и в переставлены местами
S = a*b = (15/2 + √167/2)*(15/2 - √167/2) = 1/4*(15 + √167)*(15 - √167) = 1/4*(15² - 167) = 1/4*(225 - 167) = 1/4*58 = 29/2