Отрезок ab не имеет общих точек с плоскостью альфа. через точки a и b проведены прямые, перпендикулярные плоскости альфа и пересекающие её в точках a1 и b1 соответственно. вычислите длину отрезка а1в1 если ав = 13 см, аа1 = 12 см и вв1 = 24 см.

Так как АА₁⊥α и ВВ₁⊥α, то АА₁║ВВ₁.

Параллельные прямые задают плоскость, которая пересекает плоскость α по прямой А₁В₁ (так как эти точки принадлежат обеим плоскостям).

Итак, точки А, А₁, В₁, В лежат в одной плоскости, а четырехугольник АА₁В₁В - прямоугольная трапеция.

Проведем высоту АН. А₁АНВ₁ - прямоугольник, тогда НВ₁ = А₁А = 12 см,

АН = А₁В₁.

ВН = ВВ₁ - В₁Н = 24 - 12 = 12 см

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора

            АН = √(АВ² - ВН²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см

А₁В₁ = АН = 5 см

Прямоугольный треугольник имеет один угол = 90 °, а два других угла являются острыми.
Допустим, что меньший из этих двух острых уголов =Х °.
Поскольку по условию задачи сказано, что один из острых углов на 50% больше второго, значит второй угол в 2 раза больше первого (поскольку 50% величины это половина от 100%) и этот второй острый угол =2Х°.
Сума всех углов любого треугольника =180°
Значит сума углов нашего треугольника =180°
Выходит,
х+2х+90°=180°
3х=180°-90°
3х=90°
х=30° - величина первого острого угла.
Значит величина второго острого угла = 2Х°=2*30°=60°

ответ: острые угли прямоугольного треугольника равны 30° и 60°

Пусть OO₁ = x (см. чертеж)

Из ΔOO₁B, используя теорему Пифагора, получаем:

O₁B² = 1 - x² (O₁B - радиус основания конуса)

SO₁ = 1 + x - высота конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

V = ⅓·πr²h, где r - радиус основания конуса, h - его высота

В нашем случае:

V(x) = ⅓·π·(1 - x²)(1 + x)

Исследуем на экстремум функцию f(x) = (1 - x²)(1 + x) = -x³ - x² + x + 1

f'(x) = -3x² - 2x + 1 = 0; Нули производной: -1; ⅓, причем x = ⅓ - максимум!

Таким образом для x>0 f(x) принимает наибольшее значение при x = ⅓, а значит и V(x) принимает наибольшее значение в этой же точке:

V(⅓) = ⅓·π·(1 - ⅑)(1 + ⅓) = 32/81 · π