Сторона параллелограмма равна 21 см , а высота, проведённая к ней 15 см. найти площадь параллелограмма.

S=21*15 =315 кв.см площадь параллелограмма. Площадь равна произведению высоты на сторону

Построение сводится к проведению перпендикуляра из  точки к прямой. 

Из вершины А, как из центра,  раствором циркуля, равным АС, делаем насечку на стороне ВС. Обозначим  эту точку К.

∆ КАС- равнобедренный с равными сторонами АК=АС.

Разделив КС пополам, получим точку М, в которой медиана ∆ КАС пересекается с основанием КС. Т.к. в равнобедренном треугольнике медиана=биссектриса=высота, отрезок АМ будет искомой высотой. 

Для этого из точек К и С, как из центра,  одним и тем же раствором циркуля ( больше половины КС) проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения с А. 

Отрезок АМ разделил КС пополам и является  искомой высотой ∆ АВС из вершины угла А. 

Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ).

Биссектриса AE пересекает высоту BD в точке О, причем OB/OD=3/1 .

Пусть АВ = ВС = х, АD = DC = y.

Используем свойство точки пересечения биссектрис.

Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Отсюда следует х = 3у.

По Пифагору х² = у² + (3 + 1)².  Зваменим у.

(3у)² = у² + 4²,

8у² = 16,

у = √(16/8) = √2.

Переходим к углам.

Угол OAD = ABD как взаимно перпендикулярный.

tg OAD = tg ABD = √2/4.

Находим ОК = AD*tg OAD = √2*(√2/4) = 2/4 = 0.5.

Отрезок ВК = 4 - 0,5 = 3,5.

ответ: ВК/KD = 3,5/0,5 = 7/1.