Прямой угол aob разделен лучом oc на два угла. один из углов в 4раза больше другого. найдите эти углы

Х- первый угол
4х-второй угол
х+4х=90 (так как угол прямой)
5х=90
х=18 градусов составляет первый угол
второй угол =18*4=72 градуса

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

ответ:

өтілетін күні: пәні: сыныбы: 11  

тақырыбы: §3. пирамида.  

пирамиданың анықтамасы және жалпы қасиеттері. қиық пирамида.  

пирамида бетінің ауданы және пирамиданың көлемі.  

мақсаты:  

білімділік: пирамиданың анықтамасымен таныстыру және дұрыс пирамида, пирамиданың апофемасы, қиық пирамида, қиық пирамиданың биіктігі, дұрыс қиық пирамида ұғымдарын енгізіп, түсінік беру; пирамиданың бетінің ауданы мен көлемін енгізу..  

қ: қ ойлау қабілеттерін .  

тәрбиелік: оқушыларды есептер шығару барысында ұқыптылыққа, еңбектенуге тәрбиелеу.  

сабақтың түрі: жаңа білімді түсіндіру.  

әдісі: түсіндірмелі иллюстрациялы.  

көрнекілігі: оқулық,.  

сабақ барысы:  

і. ұйымдастыру кезеңі  

іі . топтық жұмыс: (топ мүшелері оқулықпен жұмыс жасап жаңа тақырыпты ашады, топ ішінен бір оқушы басқа топтарға түсіндіріп шығады )  

і топ: пирамида ұғымы және оның элементтері  

іі топ: қиық пирамида және оның элементтері  

ііі топ: пирамида жазбасы. пирамида бетінің ауданы  

іv. пирамиданың көлемі  

ііі. «кім » (топпен тарихи есептер шығару)  

і топқа: хеопс пирамидасының табаны –қабырғасы 230 м-ге тең квадрат, ал бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрышының тангенсі 1,2. ең биік египеттік пирамидасының биіктігін табыңдар.  

шешуі: 1. ac ç вd = о  

2. дұрыс пирамида þ sо ^ (авс)  

3. ое çç аd þ ое ^ аd þ  

4. sе ^ сd (3 перпендикуляр туралы теорема)  

тікбұрышты үшбұрыштың бұрышының тангенсі неге  

тең? (қарсы жатқан катетінің  

іргелес жатқан катетіне қатынасы)  

5. d sое – е\ш tg e = sо : ое = 1,2  

6. ое = 0,5аd =115м  

230 d 7. sо = ое • tg e = 1,2 • 115 = 138 м  

жауабы: 13  

іі топқа: хеопс пирамидасының табаны –қабырғасы 230 м-ге тең квадрат, ал биіктігі 138м. ең биік египеттік пирамидасының бүйір қырын табыңдар.  

шешуі: 1. ac ç вd = о  

2. d аоd – е\ш  

пифагор т-сы б-ша аd2 = dо2+оа2  

2оd2= 2302 = 52900  

оd2 = 26450  

3. дұрыс пирамида þ sо ^ (авс)  

4. d sоd – п\у  

пифагор т-сы ds2 = dо2+оs2 = 26450 + 1382=  

= 26450 +19044 = 45494  

ds » 213 м  

жауабы: 213м  

ііі топқа: хеопс пирамидасының бүйір бетінің ауданын табыңдар, егер табанының қабырғасы 230 м-ге, ал биіктігі 138 м-ге тең болса.  

шешуі:  

1. sб.б=4sтр  

2. ac ç вd = о  

3. дұрыс пирамида þ sо ^ (авс)  

4. ое çç сd þ ое ^ аd þ  

5. sе ^ аd (3 перпендикуляр туралы теорема)  

6. еоs- е\ш пифагор т б-ша еs2 = ео2+оs2 = 1152 + 1382 =  

= 13225 +19044 = 32269  

еs  180  

7. es - высота аsd  

sаsd = 0,5 еs•аd  0,5 •180 • 230 20700 м2  

8. sб.б=4sтр  4 • 20700  82800 м2  

жауабы: 82800 м2  

іv топқа: дұрыс пирамиданың бүйір қыры биіктігінен 2 есе ұзын. бүйір қырының табанымен жасайтын бұрышты табыңыз.  

іv. экспресс-тест (5 есеп- 10 мин)  

1. пирамиданың табаны қабырғалары 18 және 10 см болатын тіктөртбұрыш. пирамиданың биіктігі 12 см-ге тең, ал оның табаны тіктөртбұрыштың диагональдарының қиылысу нүктесі.  

а) пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңдар:  

а) 420 м2 в) 384 м2 с) 402 м2 в) 394 м2  

б) пирамиданың толық бетінің ауданын табыңдар:  

а) 520 м2 в) 600 м2 с) 620 м2 в) 580 м2  

2. пирамиданың табаны-қабырғасы 12 см-ге тең теңқабырғалы үшбұрыш. оның әрбір бүйір қыры табан жазықтығымен 450 бұрыш жасайды. пирамиданың биіктігін табыңдар.  

а) 4 см в) 4√2 см с) 4√3 см в) √3 см  

3. пирамиданың табаны –диагоналі 12 см-ге тең тіктөртбұрыш. пирамиданың әрбір қыры 10 см-ге тең. пирамиданың биіктігін табыңдар.  

а) 8 см в) 10 см с) 9 см в) 7см  

4. дұрыс төртбұрышты пирамида табанының қабырғасы 10 см. пирамиданың биіктігі 12 см-ге тең. апофемасын табыңдар.  

а) 15 см в) 14 см с) 13 см в) 16см  

v. оқулықпен жұмыс: №20 24 бет  

№28 78 бет  

№20  

s шешуі: а)  

1. sб.б = 1/2 рk  

2. oe= ad: 2= 10: 2=5  

3. k=se=√(〖12〗^2+5^2 )=13  

4. p=4∙10=40  

10 5. sб.б = 1/2 ∙40∙13 =260 м2  

б) sт = sб.б + sтаб = 260+180 =360 м2  

№24  

дұрыс пирамиданың диагоналі 6 дм-ге тең квадрат және пирамиданың биіктігі 15 дм. осы пирамиданың көлемін табыңдар.  

шешуі: v= 1/3 sтаб∙h х^2+х^2=36  

x= 3√2  

sтаб= x^2= 〖(3√(2))〗^2=9∙2=18  

v= 1/3∙18∙15=90 дм3  

vі. бағалау (кретириалды бағалау)  

оқушының атаы-жөні топтық жұмыс кім экспресс-тест №20 №24 қорытынды  

объяснение: