Углы треугольника пропорциональны числам 3, 8, 5. доказать, что треугольник прямоугольный.

Сумма углов треугольника =180 гр, обозначим одну часть за х, тогда углы треугольника равны соответственно 3х, 8х, 5х. Составим уравнение
3х+5х+8Х=180
16х=180
х=180/16=90/8=11,25
Тогда 8х=8*11,25=90 гр., значит треуг. прямоугольный.

Всё проще простого)
Смотри, что нам известно: диагональ и сторона. Причём диагональ, сторона и неизвестная сторона образуют прямоугольный треугольник. Ничего не напоминает? Правильно: теорема Пифагора! :)
Квадрат гипотенузы (то бишь диагонали) равен сумме квадратов катетов (то есть квадраты известной и неизвестной сторон): 100 = 64 + x^2; x^2 = 36; x = 6.
Итак, неизвестная сторона найдена. Осталось только найти площади и периметр)
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных (соседних) сторон: 8 * 6 = 48.
Теперь периметр - это сумма всех сторон: 6 + 6 + 8 + 8 = 28.
Вот и всё)

Рассмотрим два угла првильного многоугольника и треугольники построеные на них за условием задачи:
Треугольники М1А2М2 и М2А3М3, они равны за первым признаком:
1) А2=А3(правильный пятиугольник);
2) М1А2=М2А3(половина стороны);
3) А2М2=А3М3(вторая половина стороны).
Найдем угол М1М2М3 - он равный М2А3М3, поскольку А3М2М3=(180-М2А3М3)/2, а
М1М2М3=180-2*А3М2М3=М2А3М3 - это угол пятиугольника.
М1М2=М2М3 - сторона пятиугольника.
Теперь применим наши суждения ко всем углам пятиугольника и увидим, что мы получили некоторую пятиугольную фигуру, у которой пять равных сторон и пять равных углов, тоисть имеем правильный пятиугольник. Думаю так...