Вычислите скалярное произведение векторов а и в, если |а|=4, |в|=5, а угол между ними равен 30 градусам.

Скалярное произведение считается так:

Правильная усеченная пирамида АВСДА1В1С1Д1, нижнее основание квадрат АВСД со стороной=10, верхнее-А1В1С1Д1 со стороной =6, в квадрате диагонали пересекаются под уголом 90, В1Д1 перпендикулярна А1С1, плоскость АА1С1С-плоскость сечения площадью 6*корень2, 
АА1С1С-равнобокая трапеция , А1С1=корень(2*А1Д1 в квадрате)=корень(2*36)=6*корень2, АС=корень(2*АД в квадрате)=корень(2*100)=2*корень10,
площадь АА1С1С=1/2*(А1С1+АС)*АН, АН высота трапеции на АС=высота призмы,
6*корень2=1/2*(6*корень2+10*корень2)*АН, 12*корень2=16*корень2*АН, АН=12/16=3/4
объем=1/3*АН*(площадьАВСД+площадьА1В1С1Д1+корень(площадьАВСД*площадьА1В1С1Д1)=1/3*(3/4)*(10*10+6*6+корень(100*36))=1/4*(136+60)=49

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²