:боковые стороны аb и cd трапеции аbcd равны соответственно 8 и 10, а меньшее основание bc равно 3. найти площадь трапеции аbcd, если известно, что биссектриса угла cdа делит боковую сторону в отношении 9: 7, считая от большего основания.

Тут хитро подобраны значения. Но и при произвольных значениях сторон и заданного отношения принцип решения тот же. Можно пойти разными путями, но смысл один и тот же - надо найти нижнее (большее основание).
Пусть биссектриса угла CDA пересекает AB в точке M.
Тогда AM/BM = 9/7;
BM = AB*7/(9 + 7) = 7/2; AM = 9/2;
Если провести MN II BC, точка N - на CD, то CN/DN = BM/AM = 7/9; и
DN = 90/16; CN = 70/16;
Так как углы NMD и NDM оба равны углу MDA, треугольник NMD равнобедренный, и DN = MN = 90/16;
Дальше можно опять делать по разному, но суть одна. Например, так.
Пусть CE II AB; точка E - на AD; и СЕ пересекает MN в точке K;
тогда KN = MN - BC = 42/16; и DE/KN = DC/CN;
DE = (42/16)*(16/7) = 6;
Вот тут надо остановиться. Решение конкретной этой задачи уже на ладони :) Треугольник CED имеет стороны DE = 6; CE = 8; CD = 10; это египетский треугольник, то есть CE перпендикулярно AD;
Ясно, что площадь трапеции (в данном случае - прямоугольной трапеции) равна 3*8 + 6*8/2 = 48; (или если охота - основания 3 и 6+3 = 9, высота 8, площадь (3 + 9)*8/2 = 48)

Теперь вопрос - а что делать, если бы сложилось не так хорошо, и трапеция не оказалась бы прямоугольной?
Основания её все равно нашлись - все четыре. Если достроить трапецию до треугольника, продлив боковые стороны, то не сложно найти и все стороны этого треугольника, а также площадь подобного ему треугольника, с основанием BC. Площадь трапеции равна разности их площадей, которые находятся по формуле Герона (достаточно искать площадь одного - треугольники подобны, и коэффициент подобия их равен отношению оснований).

3см

Объяснение:

Пусть шар радиусом R=5см пересекает плоскость равнобедренной трапеции с основаниями a=8√2см и b=4√2см так, что сечение шара касается всех сторон этой трапеции. Сечение шара - окружность радиуса r, она является вписанной в равнобедренную трапецию.

Радиус вписанной в равнобедренную трапецию окружности будет равен половине от среднего пропорционального между её основаниями, то есть:

r=1/2*√ab=1/2*√(8√2*4√2)=1/2*√64=4см

d - расстояние от центра шара до плоскости трапеции.

По теореме Пифагора:

d=√(R²-r²)=√(25-16)=3см

В объяснении

Объяснение:

1.Дано: АВС=MNK. AB=MN, BC=NK, угол С=75°, МК=4см

Найти: АС и угол К

Решение:ABC=MNK. Значит, угол С= уголуK=75°, и MK=АС=4см.

2. Дано: АО=ОВ, СО=ОD

Доказать: AOD=BOC

Доказательство: АО=ОВ,СО=ОD значит, AOD=COB-тк углы вертикальны, значит треугольники равны по 1 признаку. (AOD=BOC по 1 приз). ЧТД(что и требовалось доказать)

3. Дано: ABC=A1B1C1, М и М1 - середины отрезков АВ и А1В1

Доказать: CM=C1M1

Доказательство: АВ=А1В1, А1С1=АС. Угол А=углуА1. Проводим линию от M до C, от М1 до С1. А1М1=АМ, АС=А1С1, УГОЛ МАС= УГЛУМ1А1С1. Значит, треугольник МАС равен треугольнику М1А1С1 по 1 признаку(МАС=М1А1С1 по 1 приз) Значит, МС=М1С1. Чтд( что и требовалось доказать)