Биссектриса угла а параллелограмма авсd пересекает сторону cd в точке n. найдите nc, если ad=5, cd=9.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Продлим биссектрису AN до пересечения с прямой ВС.

∠1 = ∠2 так как AN биссектриса,

∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей AK, ⇒

∠1 = ∠3, ⇒ ΔАВК равнобедренный:

АВ = ВК = 9.

СК = ВК - ВС = 9 - 5 = 4

ΔAND подобен ΔКNC по двум углам (∠2 = ∠3 и углы при вершине N равны как вертикальные).

Обозначим NC - x, тогда DN - (9 - x),

Составим пропорцию:

AD : CK = DN : CN

5 : 4 = (9 - x) : x

5x = 36 - 4x

9x = 36

x = 4

CN = 4

1) Известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов.
Последовательно вычитаем из 180 21 и ли 49 и находим больший угол.
2) В правильном многоугольнике углы и стороны равны. В правильном многоугольнике, вписанном в окружность углы лежат на окружности, следовательно отрезки соединяющие углы с центром окружности будут радиусы. Все проведенные радиусы к углам правильного многоугольника, деля его на равнобедренные треугольники, одновременно деля углы пополам. Следовательно углы при основании этих треугольников будут равны 70 гр. Следовательно углы при вершине этих треугольников будут равны 180-70-70=40 гр. Их общая сумма равна 360 гр. Отсюда 360:40=9 сторон.

Немного переиначу - пусть D лежит на AB, DE II AC, CD и AE пересекаются в точке N. Я буду доказывать, что BN - медиана ABC. Нужно обозначить еще две точки - M - точка пересечения продолжения BN и AC, K - точка пересечения BN и DE.
Треугольники DKN и MNC подобны, то есть MN/NK = CM/DK; точно также из подобия треугольников EKN и ANM получается MN/NK = AM/KE; если обозначить
MN/NK = x; то CM = DK*x; AM = KE*x; 
то есть CM/AM = DK/KE; (1)
Далее, поскольку DE II AB, то треугольники DKB и AMB подобны, и DK/AM = BK/BM; точно так же из подобия треугольников BKE и BMC следует KE/CM = BK/BM; если обозначить BK/BM = y; то DK = AM*y; KE = CM*y; 
то есть CM/AM = KE/DK; (2)
Если перемножить равенства (1) и (2), получится (CM/AM)^2 = 1; то есть CM = AM; Вот так решается