Вравнобедренной трапеции боковая сторона равна 10 см, диагональ - 17 см, а разность оснований - 12 см. найдите площадь трапеции.

В трапеции АВСД АВ=СД=10 см, АС=17 см, АД-ВС=12 см.
Проведём СН⊥АД.
В равнобедренной трапеции ДН=(АД-ВС)2=12/2=6 см.
Тр-ник CДН - египетский т.к. отношение гипотенузы и катета равны 5:3 (СД/ДН=10/6=5/3), значит СН=4·2=8 см.
В прямоугольном тр-ке АСН АН²=АС²-СН²=17²-8²=225,
АН=15 см,
АД=АН+ДН=15+6=21 см.
АД-ВС=12 ⇒ ВС=АД-12=21-12=9 см.
S=CН·(АД+ВС)/2=8(21+9)/2=120 см² - это ответ.

Есть 2 метода решения.

1) По формуле Герона.

Находим длины сторон треугольника.

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²)   = 1 4 9 14 3,741657387 c

BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²)   = 4 4 4 12 3,464101615 a

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²)   = 9 0 1 10 3,16227766 b

Периметр АВС  Р =  10,36803666 p - a p - b p - c

Полупериметр р=  5,184018331 1,719916716 2,021740671 1,442360944

 S = √26 =  5,099019514.

Далее по теореме косинусов находим:  

cos A = 0,507092553 cos B = 0,6172134 cos C = 0,365148372

A = 1,03898823 В = 0,905600272 С = 1,197004152      радианы

59,52964053  51,8870735  68,58328597    градусы

.

2) По векторам.

ВА = (-1; 2; -3), модуль √14

ВС = (2; 2; -2), модуль √12.

ВАхВС =    -2 + 4 + 6 = 8.

cos B = 8/(√14*√12) = 0,617213.

1. Катет АК в два дара меньше гипотенузы АС. По свойству прямоугольного треугольника, угол АСК = 30°.

Угол АСВ - прямой. 90-30=60° - угол КСВ. Треугольник ВКС прямоугольный, сумма острых 90°. 90-60=30°.

ответ: угол АВС = 30°.

2. Угол САВ =30°, т.к. гипотенуза вдвое больше катета. Треугольник АСВ прямоугольный, сумма острых 90°. 90°-30°=60°-угол АВС.

Треугольник СМВ прямоугольный. Сумма острых = 90°. 90°-60°=30°- угол МСВ. МВ - катет, лежащий против угла в 30°. Он равен половине СВ, то есть 2.

ответ: 2см.