Вравнобедренном треугольнике mpk с основанием mk угол m равен 60 градусам. докажите, что биссектриса ka угла pkt, смежного с углом k треугольника, параллельна mp

Угол PKM=60°(т.к. треугольник MPK-равнобедренный, а в равноб. треугольниках углы при основании равны, значит угол PMK=PKM=60°)
угол TKM=180°(т.к. смеж.) угол TKM-PKM=180°-60°=120°=TKP.
KA-бис. и делит угол TKP на равные углы PKA=AKT
120°÷2=60°=TKA и AKT
угол AKM=120°(т.к. 60°+60° PKM+AKP=120°)
PMK+AKM=180°
PM || KA(т.к. угол PMK и AKM-односторонние и равны 180°, значит прямые параллельны) ч.т.д.

Точки M и N - середины сторон ВС и АВ.

Отрезок MN - средняя линия треугольника АВС.

Она делит высоту пополам.

Фигура ANMC - трапеция с высотой 6 и диагоналями AM = 6√5 и CN = 7,5.

Если из точки M провести отрезок, равный и параллельный диагонали NC, то получим треугольник, равный по площади трапеции.

Основание этого треугольника АМ1 равно сумме АС + MN.

Находим проекции диагоналей на основание, длина их равна АМ1.

АМ1 = √((6√5)² -6²) + √(7,5² - 6²) = 12 + 4,5 = 16,5.

Площадь трапеции равна (1/2)*6*16,5 = 49,5 кв.ед.

По свойству подобия площадь треугольника АВС равна (4/3) площади трапеции.

ответ: S(ABC) = 49.5*(4/3) = 66 кв.ед.

Пусть АВСД - равнобедренная трапеция, АД - большее основание (нижнее) , ВС - меньшее основание (верхнее) . Опустим высоту ВЕ из вершины В на основание АД, высоту СF из вершины С на основание АД. Трапеция равнобедренная, поэтому АЕ = FД. АД = ЕF + 2*АЕ, ЕF = ВС. то есть АД = ВС + 2*АЕ Средняя линия (АД + ВС) /2 = (ЕF + 2*АЕ + ЕF)/2 = ЕF + АЕ = АF, то есть средняя линия равна АF. АF определяется из треугольника АСF. АС - гипотенуза, угол САF = 60 гр, АF = АС*cos(60) = 4*( 1/2 ) = 2. ответ: Средняя линия = 2 см.