Точка t принадлежит стороне bc треугольника abc. соедините точки a и t . назовите треугольник, для сторон которого и одного из его углов справедливо: at2= ac2+tc2- 2ac×ct× cosугла c

Равнобедренный т к у него две стороны раыны

Угол XAK=60 градусов, значит угол AKX = 30 градусов (сумма всех углов треугольника 180)
Биссектриса АС делит угол XAK пополам. значит угол CAK=60/2=30 градусов. следовательно треугольник ACK - равнобедренный с основанием AK, углами при основании по 30 градусов. AC=CK как боковые стороны равнобедренного треугольника. 
Найдем AC. AC является гипотенузой прямоугольного треугольника AXC. Угол XAC=30 градусов, т.к. биссектриса поделила 60 градусов пополам. Значит угол ACX=60 градусов (180-30-90)
Вычислим длину гипотенузы по известному катету XC и углу между ними ACX 
AC = XC/ cos(60 град)
cos60 град= 1/2 = 0,5
AC = 6/ 0,5 = 12
CK=12

В треугольнике PRL RI - биссектриса, значит по теореме биссектрис:
PR/RL=PI/IL.
Аналогично в тр-ке PSL SI - биссектриса и PS/SL=PI/IL.
Пришли к классической теореме биссектрис для тр-ка PRS:
PI/IL=PR/RL=PS/SL.
Пусть коэффициент подобия дробей PR/RL и PS/SL равен k, тогда:
PS/SL=(PR·k)/(RL·k).
Сложим числители и знаменатели этих подобных дробей:
(PR+PS)/(RL+SL)=(PR+PR·k)/(RL+RL·k)=(PR·(1+k))/(RL·(1+k))=PR/RL.
Но RL+SL=RS, значит:
PI/IL=PR/RL=(PR+PS)/RS=(4+6)/8=10/8=5:4 - это ответ

PS. Таким образом это стандартное отношение отрезков биссектрисы на которые её делит точка пересечения биссектрис треугольника.
В общем виде отношение таких отрезков биссектрисы считая от вершины угла можно представить как (a+b)/c, где в знаменателе сторона, к которой проведена биссектриса.