Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 корней из 3, её высота равна 6 корней из 3. вычислить объем пирамиды.

Объём пирамиды: V=Sh/3.
В основании лежит правильный треугольник; его площадь: 
S=a²√3/4=(6√3)²·√3/4=108√3/4=27√3.
V=27√3·6√3/3=27·6=162 (ед³) - это ответ.

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁,

         

Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.

Доказательство:

На стороне АС треугольника АВС отложим СА₂ = С₁А₁ и проведем А₂В₂║АВ.

Так как прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному, то

ΔАВС подобен ΔА₂В₂С , значит их стороны пропорциональны:

, а так как А₂С = А₁С₁, то получаем

,

По условию:

.

Из этих двух равенств следует, что

А₂В₂ = А₁В₁ и В₂С = В₁С₁.

Тогда ΔА₁В₁С₁ = ΔА₂В₂С по трем сторонам.

Значит,

ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.

Обозначим один катет "х", второй "у".
Составим систему из двух уравнений.
{x² + y² = 12²,     {x² + y² = 144,    
{(1/2)xy = 36.     {xy = 72.    Отсюда у = 72/х подставим  в первое уравнение.
х² + (72/х)² = 144.
Получаем биквадратное уравнение х^4 - 144 x² + 5184 = 0.
Примем х² = t.
t² - 144t + 5184 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно t: Ищем дискриминант:
D=(-144)^2-4*1*5184=20736-4*5184=20736-20736=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
t=-(-144/(2*1))=-(-72)=72. 
Обратная замена: х = √72 = 6√2.
у = 72/6√2 = 6√2.
Имеем равнобедренный прямоугольный треугольник с острыми углами по 45 градусов.