Центр окружности, описанной около треугольника abc, лежит на стороне ab. радиус окружности равен 20. найдите bc, если ac=32.

Все вершины треугольника лежат на описанной окружности.

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Значит противоположный угол опирается на полуокружность, он вписанный и поэтому равен половине дуги, на которую опирается, т.е. 90°, ⇒

ΔАВС прямоугольный, АВ = 2R = 2 · 20 = 40.

По теореме Пифагора:

ВС = √(АВ² - АС²) = √(40² - 32²) = √((40 - 32)(40 + 32)) = √(8 · 72) =

= √(2 · 4 · 2 · 36) = 2 · 2 · 6 = 24

много очков, а вобщем-то не за что.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 90 градусов, поэтому сумма их половин 45 градусов, и углы между биссектрисами острых углов будут 45 градусов и 135 (ну, там 4 угла, пары вертикальных... в сумме 180, конечно). Значит, речь идет не о двух острых углах, а о прямом и остром. 

Тем же определяем, что углы между биссектрисами прямого и острого угла Ф равны Ф/2 + 45 градусов и 135 - Ф/2 градусов.

в первом случае Ф =2*(70 - 45) = 50 градусов, а второй угол треугольника 90 - Ф = 40 градусов.

Во втором случае 135 - Ф/2 = 70 просто получается Ф > 90.

То есть ответ 40 и 50 (третий угол 90, конечно), в таком треугольнике  биссектрисы углов 90 градусов и 50 градусов пересекаются под углом 70 градусов.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. Поэтому сумма их половин равна 45°, и величина углов, образуемых их биссектрисами, всегда будет 45° и 135°. 

По условию угол, образуемый биссектрисами, равен 70°, следовательно, одна из биссектрис проведена из прямого угла. 

Обозначим вершины треугольника А, В, С. Биссектрисы СМ и АК. Точка пересечения биссектрис О.

∠МОА=70°

∠ОСА=45°. 

∠МОА - внешний для ∆ СОА и равен сумме внутренних не смежных с ним углов. ⇒

∠ОАС=70°- 45°=25°⇒

∠ВАС=2•25°=50°

∠АВС=90°-50°=40°.

ответ: 50° и 40°.