Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника

Пусть A и B – две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B. Пусть O – точка их пересечения. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB и углами при основании, равными α / 2, где α – градусная мера угла многоугольника. Соединим точку O с вершиной C, соседней с B. Треугольники AOB и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1), так как AB = BC, OB – общая сторона, OBC = α / 2 = OBA. Отсюда имеем OC = OB = OA. OCB = α / 2. Так как C = α, то CO – биссектриса угла C. Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона – сторона многоугольника, а противолежащая вершина – точка O, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на основания. Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O.

Теорема доказана

Постройте треугольник из высоты, бокового ребра и половины диагонали основания. В этом треугольнике заданный отрезок - средняя линяя. Поэтому половина диагонали основания равна 10, а сторона 10*корень(2), площадь основания 200. 

Теперь строим другой треугольник - из апофемы любой грани, её проекции на основание и высоты пирамиды. Это прямоугольный треугольник с углом, лежащим напротив катета-высоты пирамиды, равным 30 градусам.А прилежащий катет равен половине стороны основания, то есть 5*корень(2).

Отсюда высота пирамиды равна (5/3)*корень(6) (умножили на tg(30)), а объем

200*(5/3)*корень(6)/3 = 1000*корень(6)/9

Я так понимаю, что К - это точка пересечения биссектрисы ВК с АС.

Ясно, АК/КС = 7/9, АК + КС = 10; то есть КС = 10*9/(9+7) = 45/8;

Теперь решим другую задачу :))) на какие отрезки делят стороны точки касания вписанной окружности. Обозначим отрезки, выходящие из вершины С, как x (ясно, что они равны, как касательные из одной точки), из вершины В - y, из вершины А - z

x + z = 10;

x + y = 9;

y + z = 7;

Получаем 

x - z = 2; 2*x = 12; x = 6.(вот не буду остальные вычислять, хоть они и равны 4 и 3)

Итак, СЕ = 6.

Поэтому ЕК = 6 - 45/8 = 3/8