Из вершин углов в и с треугольника авс проведены две его высоты – вм и cn, причем прямые bm u cn пересекаются в точке н. найдите угол bhc, если известно, что =/ .

Вот решение данной задачи

    Пусть в прямоугольном треугольнике АВС угол С=90°, АС:ВС=3:4 по условию. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на треугольники, подобные исходному и друг другу.  Поэтому  в ∆ АСН отношение АН:СН=3:4. Примем коэффициент этого отношения равным а. Тогда АН=3а, СН=4а, ВН=3а+14.

    Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. СН²=АН•ВН =>  16а²=3а•(3а+14) ⇒ 16а²-9а²=42а. При сокращении обеих сторон уравнения на а получим  7а=42, откуда а=6 см. Тогда высота СН=4•6=24 см, АВ=АН+ВН=6а+14=50 см. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой высота проведена.

S =CH•АВ/2=24•50:2=600 см²

============

Тот же результат получим, применив для решения отношение СН:ВН=3:4.

Пусть длина прямоугольника равна АВ=а, а ширина(меньшая сторона) ВС=в, тогда периметр

Р = 2(а + в) = 54

а + в = 27

а = 27 - в                     (1)

В прямоугольном треугольнике, образованном большей стороной прямоугольника АВ=а и двумя одинаковыми катетами АМ = ВМ = с

а² = 2с²

с² = 0,5а²                       (2)

В другом прямоугольном тр-ке АМД, образованном гипотенузой АМ = с и катетами АД = в и МД = 0,5а

с² = в² + (0,5а)²                (3)

Приравняем правые части  (2) и (3)

0,5а²= в² + (0,5а)²

в² = 0,5а² - 0,25а²

в² = 0,25а²

в = 0,5а

а = 2в                            (4)

Приравняем правые части  (1) и (4)

27 - в= 2в

3в = 27

в = 9

ответ: меньшая сторона прямоугольника равна 9см