Решите дано: треугольник kbc k=90 kb=12 kc=16 sinkbc=?

Сначала находим гипотенузу ВС:
ВС²= КВ²+КС²= 12²+16²=144+256=400, ВС=20
синус (в прямоугольном треугольнике)- отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е sin угла КВС =КС/ВС=16/20=0.8

Даны точки M(0;1;1), N(2;-1;3), K(-1;y;0).

1. Найдите такое значение y, чтобы выполнялось условие:|MK|=|NK|.

|MK| = √((-1-0)²+(y-1)²+(0-1)²) = √(y²-2y+3)

|NK| = √((-1-2)²+(y-(-1))²+(0-3)²) = √(y²+2y+19)

Возведем оба значения в квадрат и приравняем.

y²-2y+3 = y²+2y+19  =>  y=-4.

2.Найдите координаты точки,лежащей на оси y и равноудаленной от  точек P(4;-1;3) и Q(1;3;0).

Искомая точка R(0;y;0). Тогда |PR|=|QR|.

|PR|=√((0-4)²+(y-(-1))²+(0-3)²) = √(y²+2y+26).

|QR|=√((0-1)²+(y-3)²+(0-0)²) = √(y²-6y+10).

y²+2y+26 = y²-6y+10  => y = -2.

ответ: R(0;-2;0)

3. Найдите координаты точки, лежащей в плоскости xy и равноудаленной от точек A(0;1;0), B(-1;0;1), C(0;-1;0).

Искомая точка D(x;y;0), а равные расстояния от нее до точек А,В и С, - это модули векторов AD, BD и CD.

|AD|=√((x-0)²+(y-1)²+(0-0)²) = √(x²+y²-2y+1). (1)

|BD|=√((x-(-1))²+(y-0)²+(0-1)²) = √(x²+2x+y²+2). (2)

|CD|=√((x-0)²+(y-(-1))²+(0-0)²) = √(x²+y²+2y+1). (3)

Приравняем квадраты выражений (1) и (3):

x²+y²-2y+1 = x²+y²+2y+1  =>  y=0.  

Подставим это значение в (1) и (2): x²+1 = x²+2x+2 =>

x= -(1/2).  Итак, получили точку D(-1/2;0;0).

Проверим:

|AD|=√(1/4+1+0) = √5/2.

|BD|=√(1/4+0+1) = √5/2.

|CD|=√(1/4+1+0) = √5/2.

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 4. Рассмотрим сначала случай, когда лучи, образующие данный угол, пересекают окружность каждый в двух различных точках (рис. 5).

Обозначим через O вершину угла, а точки пересечения лучей и окружности через A, B, C и D (A между O и B, C между O и D). Тогда 
Первое равенство верно, так как в треугольнике OBC внешний угол BCD равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.
Пусть теперь один из лучей (например, OA) касается окружности в точке A, а другой пересекает ее в точках B и C; B между O и C (рис. 6).