Может ли внешний угол правильного многоугольника быть равна 45 градусов?

Да может,если считать что полный угол имеет 90 градусов
45 градусов половина угла

Трапеция АВСD  .Из угла В проведем высоту ВМ к основанию АD.Из угла С проведем высоту СК к основанию AD.В  треугольнике АВМ угол А=60 градусов, значит угол В=30 градусо, отсюда следует,что сторона АМ лежащая против угла в 30 градусов равна половине гипотенузе,т.е. АМ=12 см.В  треугольнике СDК угол D=60 градусов,соответсвенно угол С=30 градусов,а KD=12 см.ВСDК-прямоугольник,где противоположные стороны равны ВС=МК,пусть ВС=МК=х см.Сумма оснований трапеции равна: 
ВС+МК+АМ+КD,где АМ=КD,значит уравнение такое
44=х+х+12+12
Получаем 2х=20,где х=10 см=
ВСАD=МК+12+12АD=10+12+12=34 см

Эта задача на много проще, чем кажется.
Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a,
то стороны исходного треугольника будут такие
(a + r, b + r, 35)
стороны меньшего треугольника
(a, r, 15)
стороны большего
(r, b, 20)
и все эти три треугольника подобны между собой.
отсюда a/r = 15/20 = 3/4;
то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5)
То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4.
То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20)
Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294;
длина полуокружности πr = 12π;

Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.