Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, образует с одним из катетов угол 55 градусов. найдите острые углы этого треугольника

Один угол 55 градусов, значит с другим катетом --угол 35градусов.  Значит один острый угол55 градусов, второй угол--35 градусов

Проведем радиусы от центра окружности О до точек касания В и С. И соедини центр окружности с точкой А.
рассмотрим получившиеся треугольники АВО и АСО, в них:
угол АВО = угол АСО = 90 гр. (св-во касательных) , следовательно, треугольники АВО и АСО прямоугольные. А чтобы доказать равенство двух прямоуг. треуг-ов достаточно найти 2 равных элемента:
- катет ОВ = катет ОС (радиусы окружности)
- ОА - общ. гипотенуза
из этого следует, что треугольники равны, следовательно все элементы этих треуг-ов равны. а следовательно равны и катеты АС и АВ
ч. т. д.

Площадь треугольника АСD по формуле Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, a,b,c - стороны.
В нашем случае р=14:2=7, тогда S=√(7*1*2*4) = 2√14.
S=(1/2)*h*AD, отсюда высота  треугольника АСD равна
h=2S/AD=(2√14)/3.
Тогда катет HD по Пифагору равен HD=√(CD²-h²)=√(9-56/9)=5/3.
Следовательно, отрезок АН=6-5/3=(18-5)/3=13/3.
По свойству высоты, опущенной из тупого угла на большее основание равнобокой трапеции, отрезок АН равен полусумме оснований трапеции. Тогда ее площадь равна
S=АН*h=(13/3)*(2√14)/3=26√14/9 ≈ 12,1.
ответ: S=26√14/9 ≈ 12,1.