Требуется найти длинну окружности радиусом 8 см

Длина окружности 2* 3,14*8 = 50, 24

Примем сторону основания за а.

Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h = (2/3)*(a√3/2) =

a√3/3.

Высота H пирамиды как катет, лежащий против угла 60 градусов, равна:  

H = (2/3)h*tg 60° = (a√3/3)*√3 = a.

Площадь основания So = a²√3/4.

Используем формулу объёма пирамиды:

V = (1/3)SoH = (1/3)(a²√3/4)*a = a³√3/12.

Зная, что V = 48, находим сторону основания.

a = ∛(12V/√3) = ∛ (12*48)/√3 = 4∛(9/√3) =4∛(√27) = 4√3.

Периметр основания Р = 3а = 12√3.

Осталось найти апофему А.

Находим боковое ребро: L = (2/3)h/cos 60° = (a√3/3)/(1/2) = 2a√3/3.

Подставим значение а: L = 2*4√3*√3/3 = 8.

Тогда апофема А = √(L² - (a/2)²) = √(64 - 12) = √52 = 2√13.

Приходим к ответу: Sбок = (1/2)РА = (1/2)* 12√3*2√13 = 12√39 кв.ед.

Если диагональ квадрата равна 12, то сторона квадрата
a = 13/√2 ≈ 9,19
меньше диаметра цилиндра, равного
d = 6*2 = 12.
И возможны два варианта размещения квадрата в цилиндре -
а) тривиальный. Квадрат вертикален, его плоскость параллельна оси цилиндра. Высота цилиндра равна стороне квадрата,
h = 13/√2
б) наклонный, центр квадрата совпадает с центром цилиндра
На рисунке проекция квадрата на основание - синяя
b - проекция наклонной стороны квадрата на плоскость основания
По Пифагору:
a² + b² = d²
b² = 12²- (13/√2)² = 12² - 13²/2 = 144 - 169/2 = 119/2
b = √(119/2)
И теперь ещё раз по теореме Пифагора, но уже для вертикально расположенного прямоугольного треугольника
h² + b² = a²
h² = a² - b² = (13/√2)² - (√(119/2))² = 169/2 - 119/2 = 50/2 = 25
h = √25 = 5
И это ответ :)