Почему замечательные точки треугольника называются замечательными?

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник. AB u BC - катеты, AC - гипотенуза.
Угол ACB = 60°, тогда угол CAB = 180 - 90 - 60 = 30°
Катет BC противолежит углу 30° ⇒ такой катет равен половине гипотенузы. BC = AC/2
BD - высота, опущенная на гипотенузу. 

В прямоугольном треугольнике BCD:
СВD= 180 - 90 - 60 = 30°
BC - гипотенуза, СD u BD - катеты, причем СD противолежит углу 30° ⇒ CD = BC/2
По теореме Пифагора
BD² + CD² = BC²
4² + (BC/2)² = BC²
16 + BC²/4 = BC²
16 = 4BC²/4 - BC²/4
3BC²/4 = 16
3BC² = 64
BC² = 64/3

В прямоугольном треугольнике ABD:
AB - гипотенуза, AD u BD - катеты, причем BD противолежит углу 30° ⇒ AB = 2BD = 8

По теореме Пифагора
AB² + BC² = AC²
(2BD)² + 64/3 = AC²
(2 * 4)² + 64/3 = AC²
AC² = 64 + 64/3
AC² = 192/3 + 64/3
AC² = 256/3
AC=√(256/3)
AC = 16/√3
AC = 16√3 / 3 (cм)

Пусть ABC - прямоугольный треугольник. AB u BC - катеты, AC - гипотенуза.
Угол ACB = 60°, тогда угол CAB = 180 - 90 - 60 = 30°
Катет BC противолежит углу 30° ⇒ такой катет равен половине гипотенузы. BC = AC/2
BD - высота, опущенная на гипотенузу. 

В прямоугольном треугольнике BCD:
СВD= 180 - 90 - 60 = 30°
BC - гипотенуза, СD u BD - катеты, причем СD противолежит углу 30° ⇒ CD = BC/2
По теореме Пифагора
BD² + CD² = BC²
4² + (BC/2)² = BC²
16 + BC²/4 = BC²
16 = 4BC²/4 - BC²/4
3BC²/4 = 16
3BC² = 64
BC² = 64/3

В прямоугольном треугольнике ABD:
AB - гипотенуза, AD u BD - катеты, причем BD противолежит углу 30° ⇒ AB = 2BD = 8

По теореме Пифагора
AB² + BC² = AC²
(2BD)² + 64/3 = AC²
(2 * 4)² + 64/3 = AC²
AC² = 64 + 64/3
AC² = 192/3 + 64/3
AC² = 256/3
AC=√(256/3)
AC = 16/√3
AC = 16√3 / 3 (cм)