Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 216°, площадь осевого сечения конуса равна 48 см². найдите площадь полной поверхности конуса.

1. Площадь полной поверхности находится по формуле: S=π*r²+π*L²*(∠α/360). C другой стороны, S=π*r*L, где L- образующая, а r -  радиус основания, ∠α=216°
2. Приравнивая оба выражения, получим, что L=5r/3
3. Площадь сечения равна произведению диаметра основания на высоту конуса. Высота конуса выражается по т. Пифагора: √(L²-r²). SΔ=1/2* r*√(L²-r²) = r²*√(25/9 -1)=4r²/3. Так как по условию, SΔ=48, то r=6.
4. L=5*6/3=10.
5. S=π*(36+100*3/5)=96π см²

Рассмотрим ∆АВD.

P – середина АВ по условию;

Т – середина АD по условию;

Следовательно РТ – средняя линия ∆ABD. Средняя линия треугольника вдвое меньше стороны треугольника, которой она параллельна.

PT//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.

Тогда РТ=0,5*BD=0,5*8=4 см

Рассмотрим ∆BCD.

Q – середина СВ по условию;

R – середина CD по условию;

Следовательно QR – средняя линия ∆BCD. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.

QR//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.

Тогда QR=0,5*BD=0,5*8=4 см.

PT//BD и QR//BD => РТ//QR.

РТ=4 см; QR=4 см => РТ=QR.

Тогда получим что, две противоположные стороны четырехугольника PQRT параллельны и равны, следовательно четырехугольник PQRT – параллелограмм.

Рассмотрим ∆PBQ u ∆ABC.

Угол АВС – общий;

Так как точка Р – середина АВ, то РВ равна половине АВ

Следовательно РВ/АВ=1/2;

Так как точка Q – середина СВ, то QB равно половине СВ

Тогда QB/CB=1/2;

Исходя из найденного, ∆PBQ~∆ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, а коэффициент подобия треугольников 1/2.

Следовательно PQ/AC=1/2;

2/AC=1/2;

AC=2*2

AC=4 см.

ответ: Параллелограмм; РТ=4 см; АС=4 см.

Задача №11

При внешнем касании расстояние между центрами будет равно сумме радиусов: 40 см + 30 см = 70 см.

При внутреннем касании расстояние между центрами будет равно разнице радиусов: 40 см - 30 см = 10 см.

ответ: при внешнем касании 70 см, при внутреннем касании 10 см.

Задача №12

При внешнем касании расстояние между центрами будет равно сумме радиусов: 50 см + 25 см = 75 см.

При внутреннем касании расстояние между центрами будет равно разнице радиусов: 50 см - 25 см = 25 см.

Для внутреннего касания расстояние между центрами слишком большое, а для внешнего касания слишком короткое (не хватает 15 см).

Вывод: окружности с данными параметрами касаться не могут.