Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 17 и 9. найдите основания трапеции, если углы при основании трапеции равны 73º и 17º. решите, .

Сумма углов при основании трапеции составляет 90°. Когда выполняется такое условие, то длина отрезка, соединяющая середины оснований  равна полуразности оснований, то есть (а-в)/2=9, отсюда в=а-18; средняя линия трапеции вычисляется по формуле (а+в)/2=17.
(а+в)/2=17;
а+а-18=34;  
2а=52
а=26;     в=26-18=8;
ответ: основания равны 8и 26.

1) гипотенуза делится на 2 отрезка: 10х и 3х (х длина одной части гипотенузы); 2) из одной вершины треугольника две касательные равные: 3х; из второй вершины две касательные равные: 10х; из третьей вершины две касательные равные: у; 3) гипотенуза равна 3х+10х=13х; один катет равен 3х+у; второй катет равен 10х+у; 4) радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник находится по формуле: r=(a+b-c)/2; 5)подставим наши значения: 4=(3х+у+10х+у-13х)/2; 2у=8; у=4; 5) значит, один катет равен 3х+4; второй катет равен 10х+4; по теореме Пифагора: (13х)^2=(3х+4)^2+(10х+4)^2; 169х^2=9х^2+24х+16+100х^2+80х+16; 15х^2-26х-8=0; х=2; х=-4/15 (отрицательный корень нам не нужен); 6) гипотенуза равна: 13х=13*2=26; один катет равен: 3х+4=3*2+4=10; второй катет равен: 10х+4=10*2+4=24; ответ: 10; 24; 26

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне BC. 
Известно что BC = 11. Найдите сторону AB
–––––––––––
Обозначим среднюю линию КМ. 
По свойству средней линии  КМ=ВС:2=11:2=5,5
 ВКМС - описанный вокруг окружности четырехугольник. 
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны            ( свойство). ⇒
КВ+МС=КМ+ВС
 КВ+МС=5,5+11=16,5 
 К и М делят АВ и АС пополам, ⇒
АВ=2₽•KB
АC-2•MC
АВ+АС=2•(КВ+МС)=33
Пусть АВ=х, тогда АС=33-х 
Периметр ∆ АВС=АВ+АС+ВС=33+11=44

Формула Герона для вычисления площади треугольника:
       –––––––––––––––––
S=√[р(р-АВ)(р-АС)(р-ВС)] где р - полупериметр

р=44:2=22⇒
         ––––––––––––––––––––––
66=√[22•(22-х){22-(33-x)}(22-11)    Выведем из-под корня 11:
6•11=11√[2•(22-x)(x-11)]
Сократим обе части на 11 и возведем их в квадрат:
36=2•(22-х)•(x-11) ⇒
x²-33 x+260=0
Решив квадратное уравнение, получим два корня: х₁=20;  х₂=13. 
Оба коря подходят.
Для данного в приложении рисунка АВ=13 ( а АС=20). Если поменять местами В и С, АВ будет равно 20.