Докажите что прямые которые касаются окружности в концах его диаметра параллельны

Диаметр это одна линия.Прямые касающиеся к окружности перпендикулярны к радиусу проведённому к данной прямой,диаметр это два радуса которые лежат на одной прямой.касающиеся перпендикулярны диаметру,значит друг с другом они параллельны.

1. Найти угол между векторами AС и АB.

*Можно искать не косинус угла, а найти длину вектора BC, тогда ΔABC -- равносторонний и углы равны по 60°.

2. Найти координаты центра сферы и длину ее радиуса. Найти значение m.

Приведём уравнение к общему виду (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²:

Тогда O (x₀; y₀; z₀) -- центр сферы, O (0; 1; -2),

R² = 16  ⇒  R = 4

Если точка принадлежит сфере, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство. Подставим точки A и B в уравнение сферы:

3. Найти уравнение плоскости α.

Ax + By + Cy + D = 0 -- общее уравнение плоскости.

n = (A; B; C) -- вектор нормали  ⇒ A = 1, B = 2, C = 3, тогда

Если точка принадлежит плоскости, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство:

4. Найти общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой представляет собой систему уравнений двух пересекающихся плоскостей. Решение этой системы есть пересечение плоскостей, то есть прямая.

Зададим прямую параметрически:

Исключим параметр λ:

Последняя система -- это общее уравнение прямой.

1. а) AB=BC=CD=AD => ABCD - квадрат;

NK||DC => NK||MDC;

б) Прямая FL принадлежит плоскости MDC => FL параллельна любой прямой плоскости MDC => FL||KN;

в) 1) NK||FL ;

2) FL=0,5DC=0,5NK (как средняя линия треугольника MDC) => NFLK - трапеция

3)тр-ки BMC и ADM - Равносторонние => угол MCB = углу MDA = 60 градусов;

4) CK = ND; CL=DF; угол MCB = углу MDA => тр-ки CLK=DNF => NF=LK

5) из данного равенства следует, что трапеция NFLK - равнобедренная;

2. NK=а; FL=a/2;

KL найдем из тр-ка CKL по теореме косинусов:

KL^2=CK^2+CL^2-2*CK*CL*cos60=a^2/4+a^2/4-2*(a/2)*(a/2)*1/2=a^2/4;

KL=a/2;

NF=KL=a/2

P=NK+KL+FL+NF=a+a/2+a/2+a/2=5a/2;

3. (рисунок прилагается) 1) Опустим высоты FH1 и LH2 на сторону NK;

2)FLH1H2 - прямоугольник => H1H2 =FL= a/2

т.к. трапеция равнобедренная, NH1=KH2 =(a-a/2)/2=a/4;

3)KH2/KL=1/2 => угол KLH2=30°;

4)LH2=LK*cos30=a/2*корень(3)/2=корень(3)*a/4;

5) S=1/2(FL+NK)*LH2=1/2*3a/2*корень(3)*a/4=3*корень(3)*a^2/16