Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны 5 и 7. найдите все возможные значения периметра этого треугольника. , .

Возможны два варианта для сторон треугольника:
5; 5; 7 и тогда периметр = 17 
7; 7; 5 и тогда периметр = 19

Если я правильно поняла, что именно нужно найти.

-------------------------------------------------------------------------------------

 

Сделаем к задаче рисунок.

 

Обозначим точку пересечения  биссектрис Δ АВС ( в котором ∠ С равен 61°) буквой М.

 

Рассмотрим треугольник АВМ.

∠ МАВ = ½ ∠ ВАС,

 

∠ АВМ = ½ ∠ АВС, тогда ∠ АМВ =180° -½ (∠ АВС + ∠ ВАС).

 

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен ɣ.

 

Угол ɣ смежный с углом АМВ, следовательно, ɣ = ½ (∠ АВС + ∠ ВАС).

 

Поскольку ∠С треугольника АВС =61°, то ∠ АВС + ∠ ВАС = 119°.

 

Тогда ɣ =½ (∠ АВС + ∠ ВАС) = 119° : 2 = 59,5°

 

ответ: 59,5°

------------

Вариант решения.  

Сумма углов ВАС+АВС равна внешнему углу при ВСА ( по теореме о внешнем угле треугольника)

(∠САВ+∠АВС)=180°-61°=119°

Тогда их полусумма равна 

119°:2=59,5°

Искомый угол - это угол гамма на приложенном рисунке. 

Он является внешним углом при вершине М треугольника ВМА и равен сумме углов, не смежных с углом  АМВ. Т.е. угол γ равен полусумме углов ВАМ  и АВМ .

Острый угол,образованный между сторонами и биссектрисами его остальных углов

 =59,5°

Менее наукообразно во вложении.
Три точки из четырех всегда будут принадлежать одной плоскости, так как через три точки можно провести плоскость. Значит речь идет о том, что четвертая точка в любом случае не принадлежит этой же плоскости и не может оказаться на одной прямой с любыми двумя точками этой плоскости.. Возможны два случая. .

1. случай.   Три точки лежат в одной плоскости. Пусть три точки лежат на одной прямой.  Но тогда через эти три точки, принадлежащие одной прямой и четвертую точку не лежащую на этой прямой можно провести плоскость. А это противоречит условию задачи.
2 случай. Если три точки лежат на одной плоскости, но не прямой, то через любые три из них можно провести плоскость  но нельзя провести прямую. Если три точки этой плоскости окажутся на одной прямой, то мы придем к первому случаю (уже доказана невозможность) Четвертая точка не лежит в этой плоскости, поэтому любая прямая, проходящая через эту четвертую точку и любую точку на плоскости пересекает эту плоскость, поэтому не может проходить через другие  точки .