Одна из диагоналей трапеции и ее основания равны соответственно 40 см, 18 см, 30 см. найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

Диагонали трапеции при пересечении образуют с основаниями треугольники, которые подобны по трем углам ( одна пара - вертикальные, другие - как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.). 
Коэффициент подобия  находят отношением известных элементов.
Здесь k=18/30=3/5. 
⇒ ВО:ОД=3/5 
ВО=3 части, ОД=5 частей, всего 8 частей. 
Каждая часть диагонали равна
40:8=5 см.  Тогда 
ВО=5•3=15 см
ОД=5•5=25 см

Плоскости квадрата АВСD и треугольника АМВ взаимно перпендикулярны, следовательно, угол МНК между лучами, проведенными из одной точки на их общей стороне АВ перпендикулярно к ней прямой. 

МН перпендикулярна плоскости квадрата⇒ перпендикулярна любой прямой, проходящей через её основание Н. 

а) ВС и АМ лежат в разных плоскостях, не параллельны и не пересекаются -- они скрещивающиеся. 

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми,  нужно провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. При этом получатся пересекающиеся прямые. Угол между ними равен углу  между исходными скрещивающимися. 

АМ -наклонная, ее проекция НА перпендикулярна стороне квадрата АD.⇒ АМ⊥АD.  Сторона  ВС параллельна АD, следовательно, ВС⊥АМ

б) Искомый угол - угол между МС и ее проекцией НС на плоскость квадрата, т.е. угол МСН. 

∆ АМВ равнобедренный, его высота МН ещё и медиана ⇒ АН=ВН=2.

По т.Пифагора МН=√(AM²-AH²)=√(24-4)=√20

НС - диагональ прямоугольника НВСК. По т.Пифагора 

НС=√(BH²+BC²)=√(4+16)=√20

В прямоугольном  ∆ МНС катеты МН=СН ⇒ его острые углы равны 45°

Угол между МС и плоскостью квадрата равен 45°

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, пусть каждый угол равен х, тогда угол при вершине =х+120., сумма углов треугольника =180 градусов, поэтому х+х+х+120=180, 3x=180-120, x=20, 20+120=140, ответ: 20 град, 20 град, 140 град. 2) наименьший внешний угол треугольника смежен с прямым углом, наибольший внешний угол треугольника смежный к меньшему острому углу. Пусть коэффициент отношения=х, тогда наибольший внешний угол =8х, наименьший внешний угол = 5х, угол смежный с прямым =5х, 5х=90, х=18 градусов, поэтому 8х=8*18=144 градуса, внутренний угол =180-144=36 градусов, сумма острых углов прямоугольного треугольника = 90 градусов. Второй острый угол = 90-36=54 градуса. 3) сумма внешних углов треугольника, взятых по одному у каждой вершины = 360 градусов. 360-270 =90 градусов. Угол, смежный с углом 90 градусов=90 градусов, значит треугольник - прямоугольный