20 ! ! около прямоугольного треугольника авс с прямым углом с описана окружность. найдите радиус этой окружности, если: а) ас = 12 см, вс = 5 см; б) ас = 16 см, ∠в = 30°.

Сначала докажем, что если окружность описана около прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на гипотенузе.
пусть, дан треугольник АВС с прямым углом С
пусть, точка О-центр описанной окружности.
рассмотрим следующие треугольники:
ВОС-равнобедренный, ∠ОВС=∠ОСВ,
АОС-равнобедренный, ∠ОАС=∠ОСА
но сумма углов ВСО и АСО=90°, значит,
сумма углов САО + СВО=ВСО +АСО=90°
Сумма углов выпуклого четырехугольника =360°,значит, АОВ=360-90-90=180°, то есть развернутый угол
Кроме того, ОВ=ОА, поскольку О-центр окружности

задача1
АС = 12 см, ВС = 5 см;
АВ=√(СВ²+АС²)=√(144+25)=13 см
ОА=ОВ=13:2=7,5 см.

задача2.
АС = 16 см, ∠В = 30°.
АВ=16:sin30°=16:0,5=32
ОА=ОВ=32:2=16 см

Пусть нам дан ромб АВСD. Пусть угол С=120. В ромбе противоположные углы равны, значит угол А = 120. Углы В и Д равны 360-240= 120. каждый из них равен по 60 градусов. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и пересекаются под прямым углом. Значит угол ОВС = 60/2 =30 Пусть О -точка пересечения диагоналей. Треугольник ВОС - прямоугольный. гипотенуза ВС = 8 см (по условию). ОС - катет лежащий против угла в 30 градусов, значит равен половине гипотенузы = 4 см. по теореме пифагора находим, что ВО = 4√3. АО =ОС, т.к. АС диагональ. Треугольник АВО -прямоугольный. По теореме Пифагора находим гипотенузу АВ = 8 см. Т.к. в ромбе противоположные стороны равны, то Р= 8*4= 32 см.
Ну, как то так

3.Высота из вершины малого основания в равнобедренной трапеции делит большое основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований(то есть (a - b)/2, где а и b - большое и малое основания)откуда больший равен полусумме оснований(потому что а - (a - b)/2 = (a + b)/2)То есть больший отрезок равен средней линии.  треугольник, образованный этим отрезком, высотой и диагональю - это прямоугольный треугольник с углом 45 градусов (так задано).То есть он равнобедренный.То есть средняя линяя равна высоте. цифры тогда сами подставите)