Через любую точку плоскости можно провести прямую.

Да даже несколько через любую точку можно провести несколько прямых

В трапеции ABCD биссектриса угла BAD проходит через точку М, которая является серединой CD. Известно, что АВ=5, АМ=4.  Найдите длину отрезка ВМ.

По условию СМ=CD. 

Решить задачу можно разными

Проведем МК || AD - по т. Фалеса она делит АВ в отношении DM:MC т.е. на АК=КВ. 

В ∆ АКМ ∠КМА= ∠МАD - как накрестлежащие. 

∠МАD=∠МАК- как половины ∠КАD

∠КАМ=∠КМА⇒

∆ АКМ -  равнобедренный, и АК=КМ. 

Но КМ=АК=КВ ⇒ ∆ ВКМ равнобедренный, ⇒ ∠КВМ=∠КМВ. 

Углу КМВ равен накрестлежащий ∠ СВМ. ⇒ ВМ - биссектриса угла СВК. 

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180º

Тогда сумма их половин равна 90º, и угол ВМА=180º-90º=90º

∆ АВМ - прямоугольный. Отношение катета АМ к гипотенузе АВ 3:5⇒ ∆ АВМ - египетский, и ВМ=3 (ед. длины) ( по т.Пифагора получим ту же величину). 

Доказав, что ∆ АКМ - равнобедренный, проведем в нем высоту КН. Она же - медиана, и АН=НМ. 

Тогда КН - средняя линия ∆ АВМ, и КН || ВМ, откуда следует, что угол ВМА=90º, ∆ АВМ - египетский и ВМ=3  (ед. длины). 

на любителей т. косинусов)

По т. косинусов можно из ∆ КАМ найти косинус угла КАМ, затем по ней  той же теореме длину ВМ.

 Вычисления приводить не буду - пользовалась при нахождении косинуса инженерным калькулятором. Без него значения будут лишь приближенными. Таким образом найден 

 cos ∠КАМ=0,8.

Тогда ВМ²=5²+4²-2•5•4•0,8 ⇒

BM²=25+16-32=9

BM=3 (ед. длины)

В равнобедренном тр-ке высота, биссектриса и медиана равны. Тогда в прямоугольном тр-ке, образованном высотой (катет), боковой стороной (гипотенуза) и половиной основания (второй катет), синус 15° - это отношение противолежащего катета (высота) к гипотенузе. Отсюда высота равна 11*Sin15°=11*0?258 =2,85.  Sin75° (половина угла при вершине) равен отношению половины основания к боковой стороне, то есть половина основания равна 11*Sin75°=11*0,966=10,6
Тогда площадь равна произведению высоты на половиу основания = 2,85*10,6=30,2