Четырёхугольник авсd со сторонами ав=34 и сd=22 вписан в окружность. диагонали ас и вd пересекаются в точке к, причём угол акв=60 градусов. найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Я уже решала похожую задачу))
проблема состояла в том, что другие предложенные решения содержали тригонометрические выкладки, которые не под силу 9-класснику...
потому "родилась" идея использовать поворот (материал 9 класса)
угол АКВ -это внешний угол для треугольника DKA, значит, сумма углов KDA+KAD = 60°, это вписанные (для окружности) углы, т.е. сумма дуг, на которые опираются эти углы ∪ВА+∪CD = 120°
и мы никогда не найдем отдельные слагаемые (эти углы), т.к. данных не достаточно, потому и возникла мысль использовать именно дугу, равную сумме дуг... т.е. нужно повернуть треугольник с вершиной в центре окружности (центральным углом, соответствующим дуге АВ)  с целью получить дугу в 120° (точки С и В совпадут)
получим 4-угольник с двумя известными сторонами (22 и 34) и
двумя известными (и даже равными) углами по 120°...
остальное по теореме косинусов...

Треугольник аов=треугольнику вос по стороне и двуи прилежащим к ней углам. у них ов-общая, угол аов=углу вос по условию, угол аво=углу сво, так как во-биссектриса у равных треугольников соответственные стороны равны, поэтому ав=вс и треугольник авс-равнобедренный с основанием ас.  аов=110градусов, 1/2угла а+1/2углав+110градусов=180градусов,1/2(угола+уголв)=180градусов-110градусов=70градусовугол а+уголв=70градусов*2=140градусов, тогдаугол с=180градусов -140градусов=40градусов. так как треугольник равнобедренный то у него углы при основании равны, угол а=40градусов, угол в=180градусов -(40+40)=100 градусовответ 40градусов, 40градусов, 100градусов

Доказательство: пусть угол abc - вписанный угол окружности с центром o, опирающийся на дугу ac. докажем, что abc=1/2 дуги ac. есть 2 возможных варианта расположения луча bo относительно угла abc 1) луч ob совпадает с одной из сторон угла abc, например со стороной bc. в этом случае дугаac меньше полуокружности, поэтому угол aoc=дуге ac. так как угол aoc - внешний угол равнобедренного треугольника abo, ф углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то угол aoc=уг.1+уг.2=2 уг.1отсюда следует, что 2 угол 1=дуг.ac или угол abc=уг1=1/2 дуги ac 2) луч bo делит угол abc на два угла. в этом случае луч bo пересекает дугу ac в некоторой точке d. точка d разделяет дугу ac на две дуги: дуга ad и дуга dc. по доказанному в номере один, угол abd=1/2 дуги ad и угdbc=1/2 дуги ad+1/2 дугиdc. складывая эти равенства попарно, получаем: угол abd+dbc=1/2 дуг ad+1/2 дугdc, или угол abc=1/2 дуги ac