В4-х угольнике abcd--ab=bc и ad=dc доказать что отрезки bd и ac перпендикулярны

Выходит, что все стороны равны. А четырехугольник, у которого все стороны равны - это квадрат. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.

Хорошо, сведем задачу к нахождению диагонали трапеции т.к.  есть формула  S= d^2/2 * sinA где d- диагональ, синус угла 60 у нас есть он равен 1/2* корень из 3.
Диагонали в равнобедр. трапеции образуют собой равнобедр. треугольники AOD и BOC  рассмотри треугольник ВОС:
угол ВОС равен 180- 60= 120, тогда углы при основании равны по 30 (углы ОСВ и ОВС) 
далее возьмем прямоугольный треугольник АНС где АН- высота:
угол АСН мы нашли он равен совпадающему углу ОСВ и равен 30
тогда угол НАС равен
180-90-30=60
АН=2
найдем сторону НС:
по формуле НС = АН*tgА= 2* tg HAC= 2 * tg 60 = 2* корень из 3=
2 корня из 3
окей, далее найдем АС она же является диагональю трапеции:
АС= НС/sin НАС= 2 корня из 3/ ( 1/2* корень из 3) = 4
готово, осталось посчитать:
S = АС^2 /2 * sin 60=  8* корень из 3 /2 = 4 корня из 3 см в квадрате

Усеченная пирамида АВСА1В1С1, в основаниях правильные треугольники АВС и А1В1С1, АС=7, А1С1=5, ОО1-высота пирамиды, О и О1 -центры треугольников, - пересечение высот=медиан=биссектрис, проводим высоты ВН и В1Н1, проводим апофему Н1Н, треугольник АВС, ВН=АС*корень3/2=7*корень3/2, треугольник А1В1С1, В1Н1=А1С1*корень3/2=5*корень3/2, при пересечении медианы делятся в отношении 2/1 начиная от вершины, ВО=2/3ВН=(2/3)*((7*корень3/2)=7*корень3/3, ОН=1/3ВН=(1/3)*(7*корень3/2)=7*корень3/6, треугольник А1В1С1, В1О1=2/3*В1Н1=(2/3)*(5*корень3/2)=5*корень3/3, О1Н1=1/2В1Н1=(1/3)*(5*корень3/2)=5*корень3/6, прямоугольная трапеция О1В1ВО, уголВ1ВО=45, проводим высоту В1К на ВО, ОО1В1К прямоугольник ОК=О1В1=5*корень3/3, КВ=ВО-ОК=7*корень3/3-5*корень3/3=2*корень3/3, треугольник КВ1В равнобедренный, угол КВ1В=90-45=45, КВ=В1К=О1О=2*корень3/3, рассматриваем прямоугольную трапецию О1ОНН1, проводим высоту Н1Т на ОН, ТН1О1О прямоугольник О1О=Н1Т=2*корень3/3, О1Н1=ОТ=5*корень3/6, НТ=ОН-ОТ=7*корень3/6-5*корень3/6=2*корень3/6, треугольник Н1Нт прямоугольный, Н1Н=корень(Н1Т в квадрате+НТ в квадрате)=корень(12/9+12/36)=корень(5/3), площадь боковой=1/2(периметрАВС+преиметрА1В1С1)*Н1Н=1/2*(3*7+3*5)*корень(5/3)=18*корень(5/3)=6*корень15