Abcd равнобедренная трапеция bc параллельно ad ab=cd=6 в трапецию вписана окружность радиусом 2 найдите основание трапеции

Проведём высоту ВК⊥АД. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен высоте трапеции. ВК=2R=4.

В треугольнике АВК АК=√(АВ²-ВК²)=√(6²-4²)=√20=2√5.

В равнобедренной трапеции ВС=АД-2АК=АД-4√5.

Суммы противолежащих сторон описанной трапеции равны, значит АД+ВС=АВ+СД=6+6=12.

АД+АД-4√5=12,
2АД=12+4√5,
АД=2(3+√5)  - это ответ.

Высота трапеции BH=2*2=4.
По теореме Пифагора
AH=√AB²-BH²=√6²-4²=√36-16=√20=√4·5=2√5
FD=AH=2√5
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
AB+CD=AD+BC
AD+BC=12
AD=AH+HF+FD=2√5+BC+2√5=BC+4√5
2BC+4√5=12
BC=6-2√5
AD=6+2√5

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Доказательство.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

SABC = AD · BH / 2, SBCD = BC · DH1.

Так как DH1 = BH, то SBCD = BC · BH / 2.
Таким образом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Теорема доказана.