Треугольник со сторонами 3, 4, 5 существует?

Таки да! это классический прямоугольный треугольник - Треугольник Пифагора
сумма квадратов катетов равен квадрату гипотенузы
3²+4²=5²
9+16=25

Что тут рисовать? Все очень просто - есть две параллельные прямые (можете их сразу нарисовать - они заданы в задаче, отрезок AB и прямая, ему параллельная).
Надо выбрать точку в любом месте С ДРУГОЙ СТОРОНЫ от прямой, чем отрезок AB (к примеру, AB снизу от прямой, а точку надо выбрать в любом месте сверху). Пусть это точка M.
Теперь Надо провести MA и MB. Эти прямые пересекут прямую в точках A1 и B1.
Затем проводятся диагонали получившейся трапеции AB1 и BA1; они пересекаются в точке O.
И наконец, проводится прямая MO, она поделит AB пополам (и A1B1 - тоже).
Все операции - это "провести прямую через 2 точки", циркуль тут не нужен, только линейка.

Кстати, на мой взгляд, "базовая задача" должна формулироваться иначе "Пусть в произвольном треугольнике проведена медиана к выбранной стороне. На медиане выбрана произвольная точка, и проведены прямые через эту точку и концы выбранной стороны до пересечения с другими сторонами. Доказать, что прямая, соединяющая концы этих отрезков, параллельна выбранной стороне" (то ,что этот отрезок делится пополам медианой, можно не упоминать - это само собой разумеется).
Доказывается это моментально - аналогично теореме Чевы (можно просто на неё сослаться - из того, что одна сторона делится чевианой пополам, сразу получается, что две другие делят стороны в равных отношениях - и это всё доказательство).
Хотя это дело вкуса. Обе задачи равноценны, поскольку обратная задача очевидно верна, ведь через точку можно провести только одну прямую параллельно другой прямой.

Окружность можно вписать в трапецию, если сумма боковых сторон равна сумме оснований. То есть AD+BC=AB+CD=16 см.
Если обозначить AD=a,BC=b, AB=c, CD=d, AC=d1, то d1=√((d²+ab-a(d²-c²)/(a-b)). Так как BC=16-AD=16-a, AB=7, CD=9, AC=9, то из формулы для d1 получаем уравнение для определения a: 9=√((9²+a(16-a)-a(9²-7²)/(2a-16). Возводя обе части в квадрат, получаем 81=81+16a-a²-32a/(2a-16),или 16a-a²-16a/(a-8)=0. Так как a≠0, то на a можно сократить: 16-a-16/(a-8)=0. Умножая на (a-8), приходим к уравнению 16a-128-a²+8a-16=-a²+24a-144=0, или a²-24a+144=(a-12)²=0. Отсюда a=AD=12 и b=BC=16-12=4.
Диагональ трапеции d1 выражается через её высоту h формулой d1=√((a²+d²-2a*√(d²-h²)). Возводя обе части в квадрат и подставляя известные значения, получаем уравнение 81=144+81-24*√(81-h²), или 144-24*√(81-h²)=0. Отсюда √(81-h²)=6, 81-h²=36, откуда h²=45 и h=3*√5. Тогда радиус вписанной окружности r=h/2=3*√5/2. ответ: AD=12, BC=4, r=3*√5/2