1. на высоте ан равнобедренного треугольника авс с углом а = 90° взята точка о. докажите, что вон и нос равны. 2. точки с и d расположены по разные стороны от прямой ав так, что ad = ac, bd = вc. докажите, что ab – биссектриса угла dac. 3. точки м и е расположены по разные стороны от прямой ор так, что ом = ре и мр = ое. докажите, что ∠мор = ∠еро и ∠мро = ∠еор.

1) Вы не написали, нужно доказать что треугольники равны, или только углы, в любом случае ниже и то, и другое:

AH в этом треугольнике будет и высотой, и медианой, и биссектрисой. => CH = HB, угол BHO и угол CHO равны, т.к опять же  ah - высота, которая всегда под углом 900 градусов к основанию. у треугольников COH и BOH также общая сторона - ОН, Следовательно треугольники равны ( по углу и двум сторонам) 

A)По т.Менелая 

(СД:ДА)•(АЕ:ЕК)•(ВК:ВС)=1 

(, откуда получим ВК:ЕК=1, следовательно, ВК=ЕК.  

2)Проверим ∆ АВС по т.Пифагора.

AB² > АС²+ВС² => угол С тупой.

По ф.Герона S(ABC)-√(14•7•6•1)=14√3 

ВD- медиана и делит треугольник на два равных по площади. 

S(BCD)=7√3

По другой формуле 

S (ABC)=AC•BC•sinC:2

14√3=8•7•sinC:2 => sinC=√3/2 => тупой угол С=120° 

(Можно подтвердить по т.косинусов – получим cos C= -1/2)

Из вершины А проведем высоту АН. 

Высота тупоугольного треугольника, проведенная из острого угла, находится вне треугольника и пересекается с продолжением стороны, к которой проведена. 

Угол АСН =180°-120°=60°( смежный углу АСВ)

НС=АС•cos60°=4

AH=AC•sin60°=4√3

Примем ВК=ЕК=х

В ∆ АНК

АК=АЕ+ЕК=7+х

КС=ВС-ВК=7-х

АК²=АН²+КН² =(7+х)²=(4√3)²+(4+7-х)²

49+14х+х²=121-22х+х²+48=>

ВК=х=10/3

СК=7-10/3=11/3 

AK=7+10/3=31/3

Площадь  DЕКС найдем из разности площадей ∆ АСК и ∆ АЕD. 

S(AKC)=AH•CK:2=(4√3•11/3):2=22/√3 => 

sinCAK=22/√3:(8•31/6)=11√3/62 

S(AED)=AD•AE•sinA:2=77√3/31

S(CDEK)= (ед. площади)

В трапеции ABCD основания AD и BC относятся как 3:2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 3.

===========================================================

Продолжения боковых рёбер трапеции пересекаются в точке Е и образуют прямоугольный треугольник АЕD, ∠EAD + ∠EDA = 90° - по условиюΔBCE подобен ΔAED по двум углам (∠AED - общий, ∠ЕВС = ∠EAD - как соответственные углы при BC || AD и секущей АВ)BC/AD = BE/AE  ;  2/3 = BE/(AB + BE) 2/3 = BE/(3 + BE)  ⇒  6 + 2BE = 3BE ⇒ BE = 6▪Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной  ⇒  OM⊥DM▪Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам ⇒ OH⊥AB, AH = HB = AB/2 = 3/2 = 1,5В четырёхугольнике ОМЕН все углы прямые ⇒ ОМЕН - прямоугольник.Значит, НЕ = ОМ = R = HB + BE = 1,5 + 6 = 7,5ОТВЕТ: R = 7,5